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第１宇宙速度による投射
Yahoo!知恵袋の質問にヒントを得て，第１宇宙速度による斜方投射の着地点について考察してみた。
【問題】
第１宇宙速度によって地表から仰角\thetaで発射された物体の着地点は，発射点からの中心角で\pi-2\thetaの地点になることを証明せよ。ただし，空気抵抗や地球の自転の影響は無視できるものとする。
【解答】
第１宇宙速度は，

V = \sqrt{\frac{GM}{R}}
ただし，G：万有引力定数，M：地球質量，R：地球半径

である。軌道の遠地点および近地点（地球内部）の距離をr，そこでの速さをvとすると，エネルギー保存により

\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

また，角運動量保存（面積速度一定）により

RV\cos\theta = rv

両式よりvを消去するとrに関する２次方程式を得る。

r^2 - 2Rr + R^2\cos^2\theta = 0

これを解くと遠地点・近地点距離

r = R(1\pm\sin\theta)

を得る。結果として，エネルギーが決まれば長半径は決まり，この問題では軌道長半径はRに等しいことがわかる。同時に，楕円軌道の離心率が

\varepsilon = \sin\theta

となるべきことが示された。楕円軌道の極座標形式

r(\phi) = \frac{l}{1+\varepsilon\cos\phi}

において，上を考慮し半直弦に

l = R(1-\varepsilon^2)

を適用すれば，

r(\phi) = \frac{R\cos^2\theta}{1 + \sin\theta\cos\phi}

を得る。発射点における方位角を\phi_0とすると，r(\phi_0)=Rだから

\frac{\cos^2\theta}{1+\sin\theta\cos\phi_0} = 1

整理すると，

\phi_0 = \theta + \frac{\pi}{2}

求める中心角を2\alphaとおけば，

2\alpha = 2(\pi - \phi_0) = \pi - 2\theta

を得る。



もうひとつ直交座標による解法を試みよう。

軌道面において地表を示す方程式を

x^2 + y^2 = R^2

とすると，x軸を長軸とする軌道は，離心率を用いて

\frac{(x - \varepsilon R)^2}{R^2} + \frac{y^2}{(1 - \varepsilon^2)R^2} = 1

と書ける。これらの交点すなわち発射点（着地点）を求めると

x = \varepsilon R

を得る。つまり，発射点および着地点は楕円軌道の短軸の両端となる。すると，発射速度はx軸に平行になり，上の図から明らかなように

2\alpha = 2\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \pi - 2\theta

となる。

Algodooによるシミュレーション
後から気づいたのだが，上記の

x = \varepsilon R

は，２次方程式を解くまでもなく，楕円の長半径がRであることからただちにいえることであった。焦点からの距離が長半径Rに等しい楕円上の点は，短軸の両端になることはあたりまえだ。
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最終更新：2012年12月03日 11:54