直線２連振子のエネルギー(2)

まず，初歩的な計算で最下点までのエネルギー移動を考察しよう。
本来の題意である最下点での速さ $v_1,v_2$ を求める。

力学的エネルギー保存により

$\frac{1}{2}m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2}^2 = m_1gh_1 + m_2gh_2$

ここで，

$v_2 = \frac{h_2}{h_1} v_1$

を考慮して解けば，

$v_1 = h_1 \sqrt{\frac{2g(m_1h_1 + m_2h_2)}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}}$

$v_2 = h_2 \sqrt{\frac{2g(m_1h_1 + m_2h_2)}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}}$

を得る。したがって，おもり１のエネルギー変化は

${\it \Delta}E_1 = \frac{1}{2}m_1{v_1}^2 - m_1gh_1$

　　　 $= \frac{m_1m_2gh_1h_2(h_1 - h_2)}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2} > 0$

同様に　 ${\it \Delta}E_2 = -{\it \Delta}E_1 < 0$ 　を得る。

「個別の力学的エネルギー保存が成立するのではないか」

という勘違いとともに多く見られる勘違いは，

「重心の力学的エネルギーは保存するだろう」

というものである。もちろん重心まわりの回転のエネルギーを忘れてはいけない。

重心の軸からの距離および最下点での速さ

$h_G = \frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1 + m_2}$

$V = \frac{h_G}{h_1}v_1$

を考慮すると

$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{g(m_1h_1 + m_2h_2)^3}{(m_1 + m_2)(m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)}$

失われた重力による位置エネルギーとの差をとれば

$g(m_1h_1 + m_2h_2) - \frac{1}{2}MV^2 = \frac{m_1m_2g(m_1h_1 + m_2h_2)(h_1 - h_2)^2}{(m_1 + m_2)(m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)}$

この差は重心まわりの回転のエネルギーまたは，相対運動のエネルギーということになる。

$\frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}\mu {v_r}^2 = \frac{m_1m_2g(m_1h_1 + m_2h_2)(h_1 - h_2)^2}{(m_1 + m_2)(m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)}$

は容易に確認できるだろう。ただし，

$M = m_1 + m_2$

$\mu = \frac{m_1m_2}{M}$

$\omega = \frac{v_1}{h_1} = \frac{v_2}{h_2} = \frac{V}{h_G} = \frac{v_r}{h_1 - h_2}$

$I$ は重心まわりの慣性モーメントである。

最終更新：2012年12月06日 16:02

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