回転する一様帯電球がつくる磁場

Yahoo!知恵袋より。一様に帯電した球が中心軸周りに等速回転するとき，その中心に生じる磁場を求める。

【問題】

一定の体積電荷密度 $\rho$ を持つ半径 $R$ の球がある。これが球の中心を通る軸のまわりに角速度 $\omega$ で剛体球として回転するとき、球の中心における磁場を決定せよ。

【解答】

中心を原点，回転軸を $z$ 軸とする球座標をとる。

円電流 $I$ が中心軸上につくる磁場は，ビオ・サバールの法則により

$d\boldsymbol{H} = \frac{Id\boldsymbol{l}\times(-\boldsymbol{r})}{4\pi r^3}$

これを $\boldsymbol{r}$ を通る円電流要素

$I = \rho r\sin\theta\cdot\omega dr\cdot rd\theta$

$\therefore Idl = \rho \omega r^3\sin^2\theta\cdot drd\theta d\phi$

に適用する。求める磁場は対称性により $z$ 方向であるから $z$ 成分をとって， $\phi$ について積分すると

$dH_z = \frac{\rho\omega}{2} r \sin^3\theta \cdot drd\theta$

これを， $r = [0,R] , \theta = [0,\pi]$ にわたって積分すると

$H_z = \frac{\rho\omega}{2} \int_0^R dr \int_0^\pi d\theta (r\sin^3\theta) = \frac{1}{3}\rho\omega R^2$

を得る。

最終更新：2012年12月09日 18:47

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