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電磁場テンソルのローレンツ変換
Yahoo!知恵袋への回答をきっかけに電磁場テンソルのローレンツ変換について整理しておく。
相対性理論によって，電場と磁場は時空のテンソル場として名実ともに統一されることとなった。

{\sf F} = \left(\begin{array}{cc} 0 \quad -\boldsymbol{E}/c \\ \boldsymbol{E}/c \quad -*\boldsymbol{B} \end{array}\right)

*\boldsymbol{B}は，磁場の反対称テンソル形式である。すなわち，

{\sf F} = \left(\begin{array}{cccc} \quad 0\quad -E_x/c \quad -E_y/c \quad -E_z/c \\ E_x/c \qquad 0 \qquad -B_z \qquad B_y \\ E_y/c \qquad B_z \qquad 0 \qquad -B_x \\ E_z/c \quad -B_y \qquad B_x \qquad 0 \end{array}\right)

ローレンツ変換は

{\sf L} = \left(\begin{array}{cc} \gamma \qquad \qquad -\gamma\boldsymbol{\beta} \\ -\gamma\boldsymbol{\beta} \qquad \boldsymbol{1}+\displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\boldsymbol{\beta}\circ\boldsymbol{\beta}\end{array}\right)

すなわち，

{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} \gamma \qquad \qquad -\gamma\beta_x \qquad \quad -\gamma\beta_y \qquad \quad -\gamma\beta_z \\ -\gamma\beta_x \quad 1 + \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_x \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_z \\ -\gamma\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_x \quad 1+\displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_z \\　\cdots \end{array}\right)

である（字数制限があるのか，４行目を表示できない）。
電磁場テンソルの変換は，

{\sf F}^\prime = {\sf L}{\sf F}{\sf L}

によって得られる。電場と磁場を個別に示せば，

\boldsymbol{E}^\prime = \gamma\left[\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}-\frac{\gamma}{\gamma+1}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{\beta}\right]

\boldsymbol{B}^\prime = \gamma\left[\boldsymbol{B}-\boldsymbol{\beta}\times\boldsymbol{E}/c-\frac{\gamma}{\gamma+1}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{\beta}\right]

となる。
ごく簡単な場合への応用。

\boldsymbol{E}=(0,0,0)\quad , \quad \boldsymbol{B}=(0,0,B)　，\boldsymbol{\beta}=(\beta,0,0)　の場合，

{\sf F} = \left(\begin{array}{cccc} 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \quad -B \qquad 0 \\ 0 \quad B \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \end{array}\right)

{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} \gamma \quad -\gammma\beta \quad 0 \qquad 0 \\ -\gamma\beta \quad \gamma \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 1 \end{array}\right)

{\sf F}^\prime = {\sf L}{\sf F}{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} 0 \qquad \qquad 0 \qquad \gamma\beta B \quad 0 \\ 0 \qquad \qquad 0 \quad -\gamma B \qquad 0 \\ -\gamma\beta B \qquad \gamma B \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \end{array}\right)

すなわち，

\boldsymbol{E}^\prime = (0,-\gamma vB,0)

\boldsymbol{B}^\prime = (0,0,\gamma B)

を得る。運動する荷電粒子とともに動く座標系では，誘導電場が現れて，粒子が狭義のローレンツ力を受けることを示している。
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最終更新：2012年12月13日 16:21