【解答】2重回転系の運動方程式

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【解答】

質点のS'系における座標を $(\xi,\eta)$ とすると，質点への位置ベクトルは

$\boldsymbol{R} = \xi\boldsymbol{e}_\xi + \eta\boldsymbol{e}_\eta$

ただし，

$\xi = L\cos\omega_2t + r$

$\eta = -L\sin\omega_2t$

時間微分をとると，

$\dot{\xi} = -\omega_2L\sin\omega_2t + \dot{r}$

$\dot{\eta} = -\omega_2L\cos\omega_2t$

また，単位ベクトル（基底）の時間微分は，

$\dot{\boldsymbol{e}}_\xi = (\omega_1+\omega_2)\boldsymbol{e}_\eta$

$\dot{\boldsymbol{e}}_\eta = -(\omega_1+\omega_2)\boldsymbol{e}_\xi$

以上を用いて $\boldsymbol{R}$ を２回時間微分すると，

$\ddot{\boldsymbol{R}} = \{ \ddot{r} - {\omega_1}^2L\cos\omega_2t - (\omega_1+\omega_2)^2r \} \boldsymbol{e}_\xi + \{ {\omega_1}^2L\sin\omega_2t + 2(\omega_1+\omega_2)\dot{r} \} \boldsymbol{e}_\eta$

を得る。したがって，求める運動方程式は

$m\ddot{\boldsymbol{R}} = N \boldsymbol{e}_\eta$

であるから，

$\xi$ 成分

$m\{ \ddot{r} - {\omega_1}^2L\cos\omega_2t - (\omega_1+\omega_2)^2r \} = 0$

$\eta$ 成分

$m\{ {\omega_1}^2L\sin\omega_2t + 2(\omega_1+\omega_2)\dot{r} \} = N$

となる。下図は，POLYMATHによる数値積分，およびAlgodooによるシミュレーションの結果である。

上記の $\xi$ 成分すなわち $r$ に関する運動方程式は，質点のラグランジアンから導出することもできる。質点は外力により仕事をされており，力学的エネルギー保存は成立しないが，2重回転アームによる運動経路を束縛条件としてラグランジアンに組み込むことで，束縛力 $\boldsymbol{N}$ による仕事を考慮からはずすことができてしまうのだ。確かに，上記の $\eta$ 成分は $\boldsymbol{N}$ を決定するのみで， $r$ の挙動には直接影響していない。

$x = L\cos\omega_1t + r\cos(\omega_1+\omega_2)t$

$y = L\sin\omega_1t + r\sin(\omega_1+\omega_2)t$

$\dot{x} = -\omega_1L\sin\omega_1t + \dot{r}\cos(\omega_1+\omega_2)t - r(\omega_1+\omega_2)\sin(\omega_1+\omega_2)t$

$\dot{y} = \omega_1L\cos\omega_1t + \dot{r}\sin(\omega_1+\omega_2)t + r(\omega_1+\omega_2)\cos(\omega_1+\omega_2)t$

ラグランジアンは，

$L^\prime = \frac{2L}{m} = {\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 = {\omega_1}^2L^2 + {\dot{r}}^2 + r^2(\omega_1+\omega_2)^2 + 2\omega_1L\dot{r}\sin\omega_2t +2\omega_1Lr(\omega_1+\omega_2)\cos\omega_2t$

微分すると，

$\frac{\partial L^\prime}{\partial \dot{r}} = 2\dot{r} + 2\omega_1L\sin\omega_2t$

$\frac{\partial L^\prime}{\partial r} = 2r(\omega_1+\omega_2)^2 + 2\omega_1L(\omega_1+\omega_2)\cos\omega_2t$

ラグランジュ方程式をつくれば，上記運動方程式の $\xi$ 成分を得る。

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最終更新：2012年12月17日 11:13

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