【解答】木をこえる最小投射速度

【問題】はこちら　→　木をこえる最小投射速度

投射点を原点に，木への水平方向へ $x$ 軸，鉛直上方へ $y$ 軸をとる。

投射角 $\alpha$ に対する軌道は

$y = x \tan\alpha - \frac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}$

${v_0}^2$ について解くと

${v_0}^2 = \frac{gx^2}{ 2\cos^2\alpha(x \tan\alpha - y) }$

$x = h/\tan\thetaθ$ ， $y = h$ に対して $v_0$ が最小となるような投射角 $\alpha$ を求める。

${v_0}^2 = \frac{gh}{ 2\tan\theta\cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta) }$

ここで，

$f(\alpha) = \cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta)$

とおいて，これが最大値をとる $\alpha$ を求めれば題意を満たす。
$\alpha$ で微分して0とおくと

$\tan\alpha=\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

を得る。

このとき，

$v_0 = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)gh}{\sin\theta}}$

となる。

下図はAlgodooによるシミュレーションで，θ=30°，45°，60°のそれぞれについて最小速度での投射をシミュレートしたものである。

最終更新：2012年12月24日 14:51

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