衝突振子（理論編）

２個をぶつけて２個飛び出す場合と，２個を連結してぶつけてバラバラに飛び出す場合のそれぞれについて考えてみる。

この問題は10年近く前に考察したことがあった。手近なものとしては10円玉をおはじきとして使っても実験できるのでやってみるとよい。連結はテープでよいが，ちょっとテンションをかけ気味にしてしっかり連結すると，よい結果が得られる。

鋼球（またはコイン）１個の質量を $m$ とし，衝突は完全弾性衝突であるものとしよう。また，鋼球（コイン）に左から１・２・３・４・５と番号をつけて区別し，それぞれの速度の添字にも用いることとする。

(1)　連結しない場合

１と２の衝突直前の速度を $v_0$ ， $n$ の衝突直後の速度を $v_n$ とする。
衝突時に鋼球（コイン）中を弾性波が伝わるには有限の時間を要するから，時間差で次々と起こる連続衝突現象として考察しなければならない。

２が３に衝突　→　３が４に衝突　→　４が５に衝突　→　５が速度 $v_0$ で飛び出す。
１が２に衝突　→　２が３に衝突　→　３が４に衝突　→　４が速度 $v_0$ で飛び出す。

いずれの衝突の場合も衝突した側が停止し，された側が速度 $v_0$ で飛び出す。完全弾性の等質量の正面衝突では，両者の速度が完全に交換する。もちろん，以上の過程で常に運動量保存が成立して，最初と最後の比較は

$2mv_0 = m({v_4}^\prime+v_5) \quad , \quad {v_4}^\prime=v_5=v_0$

である。４の速度にプライムをつけたのは，２度目の衝突後の速度だからである。

(2)　連結した場合

連結した場合は，なかなか大変だ。１と２は質量 $2m$ に一体化したとみなさなければならない。その初速度を $v_0$ とする。

１２と３の衝突後の速度を $v_{12},v_3$ とすると，完全弾性衝突および運動量保存により，
$v_0 = v_3 - v_{12}$
$2v_0 = 2v_{12} + v_3$
運動量保存は両辺を質量 $m$ で割った。両式から，
$v_{12}=\frac{1}{3}v_0 \quad , \quad v_3 = \frac{4}{3}v_0$
となる。続いて，
３が４に衝突　→　４が５に衝突　→　５が速度 $4/3\cdot v_0$ で飛び出す。

１２と３の２度目の衝突が起こる。その直後の速度を ${v_{12}}^\prime,{v_3}^\prime$ とする。ここで，
${v_0}^\prime = v_{12} = \frac{1}{3}v_0$
とおけば，上の２式の速度すべてにプライムをつけた式が成立する。したがって，結果は
${v_{12}}^\prime=\frac{1}{3}{v_0}^\prime=\frac{1}{9}v_0 \quad , \quad {v_3}^\prime = \frac{4}{3}{v_0}^\prime=\frac{4}{9}v_0$
となる。続いて，
３が４に衝突　→　４が速度 $4/9\cdot v_0$ で飛び出す。

１２と３の３度目の衝突が起こる。その直後の速度を ${v_{12}}^{\prime\prime},{v_3}^{\prime\prime}$ とすると，全く同様にして
${v_{12}}^{\prime\prime}=\frac{1}{27}v_0 \quad , \quad {v_3}^{\prime\prime} = \frac{4}{27}v_0$
となり，３は速度 $4/27\cdot v_0$ で飛び出す。

各鋼球（コイン）の最終速度は，
${v_{12}}^{\prime\prime}=\frac{1}{27}v_0 \quad , \quad {v_3}^{\prime\prime}=\frac{4}{27}v_0 \quad , \quad {v_4}^\prime=\frac{4}{9}v_0 \quad , \quad v_5=\frac{4}{3}v_0$
となり，もちろん運動量保存

$2mv_0 = 2m{v_{12}}^{\prime\prime}+m{v_3}^{\prime\prime}+m{v_4}^\prime+mv_5 = \left(\frac{2}{27}+\frac{4}{27}+\frac{4}{9}+\frac{4}{3}\right)mv_0$
が成立している。

衝突される側の個数が $n$ 個の一般の場合は，

$2mv_0 = \left(\frac{2}{3^n}+\frac{4}{3^n}+\frac{4}{3^{n-1}}+\frac{4}{3^{n-2}}+\cdots+\frac{4}{3}\right)mv_0$