平面図形

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円孤の中点

円周に点ABCをおき、
BCの中点に点Pをおくと、
この点Pは∠CABを二等分する。

３点による三角形の面積

$O,A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$
を繋いでできる三角形の面積は、
$S=\frac{1}{2}\left| x_ay_b-y_ax_b \right|$

ベクトルによる三角形の面積

$S={1 \over 2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}$

円内接四角形

四角形ABCDについて、
S=AC×BD×sin∠AOB

角度

cosθの求め方は必ず必ずベクトルを用いる。
$cos\theta={\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \over |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$

法線ベクトル

$ax+by=1$ の法線ベクトルは、
$\overrightarrow{n}=(a,b)$
逆に、ベクトルの方向が(a,b)であれば、
その直線の式は $-bx+ay=c$

カージオイゾ

半径１の円で考えると、
$(2\sin\theta,2\cos\theta)+(\sin (\pi +2\theta),\cos (\pi +2\theta))$
と考えられる。この面積の半分は、
$S=\int_{x(\pi)}^{x(0)} y dx$
とあらわされる。重複部分もこの計算で考慮される。

垂心と内心

鋭角三角形ABCの各頂点から対辺に下した垂線の足をそれぞれP,Q,Rとすると、
三角形ABCの垂心と三角形PQRの内心は一致する。
<証明>
垂心をHとする。
今、三角形APCと三角形BQCは二角相等より相似であるから、∠CAP=∠CBQ ――①
ここで、四角形BPHRは∠P=∠R=Π/2 より円に内接する四角形であるから、
円周角の定理より、(∠CBQ=)∠PBH=∠PRH ――②
また、四角形AQHRについても∠Q=∠R=Π/2 であることから同様に
(∠CAP=)∠QAH=∠QRH ――③
①②③より∠PRH=∠QRH
同様にして∠RPH=∠QPH,∠PQH=∠RQHも示せるので、
したがってHは三角形PQRの内心である。

曲線

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最終更新：2012年07月04日 07:05

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