確率１０－５
366 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/10/03(月) 00:48:31 裏面が白紙で、表面に数字 1, 2, 3, 4 の書かれたカード (1), (2), (3), (4) がある。 はじめ、机の上に４枚とも表にしておく。１回の操作において、無作為に２枚を裏返す。 n回の操作の後、すべてのカードが表を向いている確率を求めよ
解答
368 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/10/03(月) 01:33:32 >>366 カードに番号がかいてあることに意味あんの？ n回目の操作後にカードが表０枚の状態をXn、表２枚の状態をYn、表４枚の状態をZnとおく。 あきらかにP(X1)=P(Z1)=0、P(Y1)=1。対称性からすべてのnでP(Xn)=P(Zn)。 P(A∩B)/P(B)をP(A|B)とかく。遷移行列は P(X(n+1)|Xn)=0、P(Y(n+1)|Xn)=1、P(Z(n+1)|Xn)=0、 P(X(n+1)|Yn)=1/6、P(Y(n+1)|Yn)=2/3、P(Z(n+1)|Yn)=1/6、 P(X(n+1)|Zn)=0、P(Y(n+1)|Zn)=1、P(Z(n+1)|Zn)=0、 P(X(n))=an、P(Yn)=bn、P(Zn)=cnとおくと次の漸化式をえる。 a(n+1)=(1/6)bn、b(n+1)=an+(2/3)bn+cn、c(n+1)=(1/6)bn といて an=(1/4)-(3/4)(1/3)^n、bn=(1/2)+(3/2)(1/3)^n、cn=(1/4)-(3/4)(1/3)^n
369 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/03(月) 01:39:40 >>368 元の問題は、n回の操作で、(1)のカードが表を向いている確率を求めよ。 というのがありました
370 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/03(月) 01:49:36 >>369 それは、n回の操作で、(1)のカードが表を向いている確率をPnと置くと P0=1、P1=1/2 一回の操作で、(1)のカードがひっくり返る確率は1/2なので Pn=(1/2)P(n-1)+(1/2)(1-P(n-1))=1/2 ｎ≧1でPn=1/2は簡単に得られますな
377 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/10/03(月) 05:21:21 >>368 bn=(3/4)+(1/4)(-1/3)^(n-1) では？
378 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/03(月) 05:24:20 >>366 > 裏面が白紙で、表面に数字 1, 2, 3, 4 の書かれたカード (1), (2), (3), (4) がある。 > はじめ、机の上に４枚とも表にしておく。１回の操作において、無作為に２枚を裏返す。> > n回の操作の後、すべてのカードが表を向いている確率を求めよ n回の操作の後、(1)、(2) のカードが表を向いている確率を求めよ。 としたら面白いのではなかろうか？
