問題
977 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/05/25(水) 18:48:18 △ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣたる二等辺三角形である。 Ｃから辺ＡＢに垂線を下し，その足をＭとし，Ｍから辺ＢＣに垂線を下し，その足をＮとする。 ＭＮ＝３，ＡＮ＝４のとき，ＡＢの長さはいくらか。
解答
15 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/06/01(水) 18:22:18 各点の座標を A=(u,v), B=(b,0), C=(c,0), M=(0,m), N=(0,0) とおく．ただし u^2+v^2=AN^2=4^2, m=NM=3. t=(v-m)/uとすると直線MBとMCは次のようにあらわされる 直線MB: y=tx+m， 直線MC: y=-(x/t)+m したがって，b=-(m/t)，c=mt=-m^2/b と書ける． △ABCがAB=ACなる二等辺三角形である条件は u = (b+c)/2 = (b-m^2/b)/2 ∴ -2bu + b^2 = m^2 すると AB^2 = (u-b)^2 + v^2 = (u^2 + v^2) + (-2ub + b^2) = AN^2 + AM^2 = 25 よってAB=5．
21 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/02(木) 01:46:06 >>14 >>15お見事 おくればせながら>>14の別解 BCの中点をHとする AB^2 = AH^2 + BH^2 4^2 = AH^2 + NH^2 上の式から下の式を引くと AB^2 - 4^2 = BH^2 - NH^2 = (BH + NH )(BH - NH) NはBC上にあるのでBH - NH > 0であり、 右辺は BN * CN(=CN * BN)に等しい 一方△BMN ∽ △MCNであるので BN / 3 = 3/ CN よって BN * CN = 3^2 AB^2 - 4^2 = 3^2 ∴AB = 5
