解析１１－２
177 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 19:22:40 謹賀新年。 地上に置くと、秒速1cmで歩く虫がいる。 長さが10cmの、いくらでも延びるゴムひもがある。 (1) 虫をゴムひもの一端に乗せ、ひもの上を他端に向けて歩かせる。 同時に、ゴムひもが毎秒10cmの割合で延びていくとする。 このとき虫は他端に到着できるだろうか？ (2) ゴムひもの長さを表す函数をr(t)とするとき、虫が他端に 到着できるためにr(t)が満たすべき条件はどんなものか？ ちなみに(1)では、r(t)=10+10tである。 なお、ゴムひもは一様に延びるものとする。たとえば、ひもの中点に 印を付けると、ひもがどんなに延びても印は中点のままである。
解答
178 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/02(月) 21:49:06 >>177 ゴムひもがのびることによって虫のスピードはあがると考えていいすか？ t秒放置したのち一瞬でt･10cmのばすという操作を繰り返すとかんがえて t→0とするとかんがえると虫は毎秒1cmよりはやくなるよね？この方針で桶？
179 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:12:44 >>178 ひもの一端を地面に固定した上で、虫の対地速度を考えれば、それでおｋ。 この場合、たとえば中点の対地移動速度は5cm/sなので、 仮に虫が中点にいたとすると、その瞬間には虫は対地速度6cm/sで 移動していることになる。 なお(2)については、およその見当はついているものの、 厳密な解答は持っていませんのであしからず。
181 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 02:59:19 >>179 だとするとこう？ ゴムひもをx=0に固定しもう片方の端がx>0をx=r(t)にしたがってうごくとする。 このゴムひも上をx軸正の方向にゴム上を等速度vでうごくとする。 t秒後の虫の位置をs(t)としてs’=v+(s/r)r’。変形して(s/r)’=v/r。 s(0)=0からs/r=∫[0,t](v/r)dt。“虫がもう一端に達する⇔s/r=1となる時刻がある”である。 (1)r=10t+10、v=1のときs/r=∫[0,t](1/(10t+10))dt=(1/10)(log(10t+10)-log10)であるからt=e^10-1で到達する。 (2)もう一端に達しない⇔∫[0,t](1/r)dt＜1/v (∀t) たとえばr(t)=ve^tのときならもう一端には到達しない。
182 名前：1[sage] 投稿日：2006/01/03(火) 03:33:58 >>181 ご名答。俺も今さっき、(2)も同じ結論に達したところ。 「虫がもう一端に達する⇔∫[0,T](v/r)dt=1となる正の時刻Tがある」ですな。 v=1、r(t)=10+t^2 とすると、もう無理。 v=1、r(t)=10+at^2 （a＞0）の場合、aが小さければ届きそうなんだけど、 計算が面倒なので放棄。 蛇足ながら、(1)の、到達できることの簡単な説明を。 まず、ひもの1/10の地点が1cm/sで動いているのに対し、 虫は1cm/sより若干は速く進んでいることを考えれば、 1/10の地点には到達できる。この瞬間の虫の対地速度は2cm/s。 ひもの2/10の地点が2cm/sで動いているので、2/10地点にも到達できる。 この瞬間の虫の対地速度は3cm/s。以下同様にして、3/10、4/10、‥と 次々に到達できることがわかる。
