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****【解答】弱い結合によるモード間のうなり
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【問題】 $$\rightarrow$$ [[弱い結合によるモード間のうなり]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=361&file=BEx13.bmp)
(1)
それぞれの質点の運動方程式は，
$$m\ddot{x}_a = -mg\frac{x_a}{l}+k(x_b-x_a)$$
$$m\ddot{x}_b = -mg\frac{x_b}{l}-k(x_b-x_a)$$
したがって，規準座標の運動方程式は
$$\ddot{x}_a + \ddot{x}_b = -\frac{g}{l}(x_a + x_b)$$
$$\ddot{x}_a - \ddot{x}_b = -\left(\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}\right)(x_a - x_b)$$
上は（2で割れば）重心運動，下は相対運動の方程式にあたる。
(2)
題意に即した規準振動の解は，
$$x_a + x_b = A\cos\omega_1t \quad , \quad \omega_1 = \sqrt\frac{g}{l}$$
$$x_a - x_b = A\cos\omega_2t \quad , \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}}$$
重ね合わせによって実現する変位は，
$$x_a(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t + \cos\omega_2t)$$
$$x_b(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t - \cos\omega_2t)$$
となり，また速度は
$$\dot{x}_a(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t + \omega_2\sin\omega_2t)$$
$$\dot{x}_b(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t - \omega_2\sin\omega_2t)$$
となる。以上から，求める初期条件
$$x_a(0) = A\quad,\quad x_b(0) = 0 \quad,\quad \dot{x}_a(0) = \dot{x}_b(0) = 0$$
を得る。このとき，変位を書き換えると
$$x_a(t) = \left(A\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\cos\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$$
$$x_b(t) = \left(A\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\sin\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$$
となり，エネルギーを交換し，振幅の増大を交替する様子がわかる。
※ Algodoo の設定は，$$l=2.0{\rm m}\,,\,m=0.10{\rm kg}\,,\,k=0.050{\rm N/m}$$ である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=362&file=BEx13-1.bmp)
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****【解答】弱い結合によるモード間のうなり
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【問題】 $$\rightarrow$$ [[弱い結合によるモード間のうなり]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=361&file=BEx13.bmp)
(1)
それぞれの質点の運動方程式は，
$$m\ddot{x}_a = -mg\frac{x_a}{l}+k(x_b-x_a)$$
$$m\ddot{x}_b = -mg\frac{x_b}{l}-k(x_b-x_a)$$
したがって，規準座標の運動方程式は
$$\ddot{x}_a + \ddot{x}_b = -\frac{g}{l}(x_a + x_b)$$
$$\ddot{x}_a - \ddot{x}_b = -\left(\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}\right)(x_a - x_b)$$
上は（2で割れば）重心運動，下は相対運動の方程式にあたる。
(2)
題意に即した規準振動の解は，
$$x_a + x_b = A\cos\omega_1t \quad , \quad \omega_1 = \sqrt\frac{g}{l}$$
$$x_a - x_b = A\cos\omega_2t \quad , \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}}$$
重ね合わせによって実現する変位は，
$$x_a(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t + \cos\omega_2t)$$
$$x_b(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t - \cos\omega_2t)$$
となり，また速度は
$$\dot{x}_a(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t + \omega_2\sin\omega_2t)$$
$$\dot{x}_b(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t - \omega_2\sin\omega_2t)$$
となる。以上から，求める初期条件
$$x_a(0) = A\quad,\quad x_b(0) = 0 \quad,\quad \dot{x}_a(0) = \dot{x}_b(0) = 0$$
を得る。このとき，変位を書き換えると
$$x_a(t) = \left(A\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\cos\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$$
$$x_b(t) = \left(A\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\sin\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$$
となり，エネルギーを交換し，振幅の増大を交替する様子がわかる。
※ Algodoo の設定は，$$l=2.0{\rm m}\,,\,m=0.10{\rm kg}\,,\,k=0.050{\rm N/m}$$ である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=362&file=BEx13-1.bmp)
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=JA4XtTlqq20)
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