【解答】弱い結合によるモード間のうなり

(1)

それぞれの質点の運動方程式は，

$m\ddot{x}_a = -mg\frac{x_a}{l}+k(x_b-x_a)$

$m\ddot{x}_b = -mg\frac{x_b}{l}-k(x_b-x_a)$

したがって，規準座標の運動方程式は

$\ddot{x}_a + \ddot{x}_b = -\frac{g}{l}(x_a + x_b)$

$\ddot{x}_a - \ddot{x}_b = -\left(\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}\right)(x_a - x_b)$

上は（2で割れば）重心運動，下は相対運動の方程式にあたる。

(2)

題意に即した規準振動の解は，

$x_a + x_b = A\cos\omega_1t \quad , \quad \omega_1 = \sqrt\frac{g}{l}$

$x_a - x_b = A\cos\omega_2t \quad , \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}}$

重ね合わせによって実現する変位は，

$x_a(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t + \cos\omega_2t)$

$x_b(t) = \frac{A}{2}(\cos\omega_1t - \cos\omega_2t)$

となり，また速度は

$\dot{x}_a(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t + \omega_2\sin\omega_2t)$

$\dot{x}_b(t) = -\frac{A}{2}(\omega_1\sin\omega_1t - \omega_2\sin\omega_2t)$

となる。以上から，求める初期条件

$x_a(0) = A\quad,\quad x_b(0) = 0 \quad,\quad \dot{x}_a(0) = \dot{x}_b(0) = 0$

を得る。このとき，変位を書き換えると

$x_a(t) = \left(A\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\cos\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$

$x_b(t) = \left(A\sin\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\sin\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$

となり，エネルギーを交換し，振幅の増大を交替する様子がわかる。

※ Algodoo の設定は， $l=2.0{\rm m}\,,\,m=0.10{\rm kg}\,,\,k=0.050{\rm N/m}$ である。

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最終更新：2010年03月13日 10:29

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