「運動方程式から軌道方程式まで（３）」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら

「運動方程式から軌道方程式まで（３）」(2010/03/16 (火) 23:14:47) の最新版変更点

追加された行は緑色になります。

削除された行は赤色になります。

****運動方程式から軌道方程式まで（３）
軌道の微分方程式を積分して，軌道方程式を得る。
----
(3) 軌道方程式を導出する

軌道$$u=u(\phi)$$が満たすべき微分方程式として，

$$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$$

を得た。簡単のため，右辺を $$\alpha$$ とおくと，

$$\frac{d^2}{d\phi^2}(u-\alpha) = -(u-\alpha)$$

となるから，ただちに

$$u - \alpha = C\cos\phi$$

を得る。余弦の中にもうひとつの積分定数である初期位相をとるべきだが，近日点（$$r$$最小の位置）を $$\phi=0$$ にとることで省略することに不都合はないだろう。座標変数を $$r$$ にもどせば，

$$r(\phi) = \frac{l}{1+e\cos\phi}$$

という形に整理できる。これは，円錐曲線（円錐を平面で切ったときの切り口の形）とよばれる2次曲線群を表しており，

$$0\leq e<1$$：楕円
$$e=1$$　　　：放物線
$$e > 1$$　　　：双曲線

に相当して，初期条件の違いによって，それぞれ実現可能な軌道となる。なお，

$$l=r\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{h^2}{GM}\quad,\quad e=\frac{h^2C}{GM}$$

はいわゆる半直弦および離心率である。$$l=1$$で$$e=0.5,1,1.5$$の場合を図に示す。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=365&file=orbit.bmp)
----

****運動方程式から軌道方程式まで（３）
軌道の微分方程式を積分して，軌道方程式を得る。
----
*****(3) 軌道方程式を導出する

軌道$$u=u(\phi)$$が満たすべき微分方程式として，

$$\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$$

を得た。簡単のため，右辺を $$\alpha$$ とおくと，

$$\frac{d^2}{d\phi^2}(u-\alpha) = -(u-\alpha)$$

となるから，ただちに

$$u - \alpha = C\cos\phi$$

を得る。余弦の中にもうひとつの積分定数である初期位相をとるべきだが，近日点（$$r$$最小の位置）を $$\phi=0$$ にとることで省略することに不都合はないだろう。座標変数を $$r$$ にもどせば，

$$r(\phi) = \frac{l}{1+e\cos\phi}$$

という形に整理できる。これは，円錐曲線（円錐を平面で切ったときの切り口の形）とよばれる2次曲線群を表しており，

$$0\leq e<1$$：楕円
$$e=1$$　　　：放物線
$$e > 1$$　　　：双曲線

に相当して，初期条件の違いによって，それぞれ実現可能な軌道となる。なお，

$$l=r\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{h^2}{GM}\quad,\quad e=\frac{h^2C}{GM}$$

はいわゆる半直弦および離心率である。$$l=1$$で$$e=0.5,1,1.5$$の場合を図に示す。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=365&file=orbit.bmp)
----