「母星質量が突然半減したときの惑星軌道」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
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****母星質量が突然半減したときの惑星軌道
恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1174937711]]より。
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恒星質量$$M$$，惑星質量$$m$$，万有引力定数$$G$$
円軌道半径$$a$$，軌道速度$$v$$とする。
円運動の方程式より
$$\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$$
$$\therefore \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}\quad,v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$$
したがって，力学的エネルギーは
$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2a} = 0$$
$$v$$は第２宇宙速度であり楕円軌道になることは知られていますが，計算してみましょう。
極座標$$(r,\theta)$$を用います。
エネルギー保存
$$\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2) - \frac{GMm}{2r} = 0$$
角運動量保存
$$mr^2\dot{\theta} = mav$$
$$\therefore \dot{\theta} = \frac{av}{r^2} = \frac{\sqrt{GMa}}{r^2}$$
$$\therefore \dot{r} = \sqrt{ GM\left(\frac{1}{r} - \frac{a}{r^2}}\right)$$
したがって
$$\frac{dr}{d\theta} = \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = r\sqrt{\frac{r}{a} - 1}$$
$$\tan u = \sqrt{r/a - 1}$$ とおくと，
$$\theta = \int_0^r\frac{dr}{r\sqrt{r/a - 1}} = 2u$$
$$\therefore \tan\frac{\theta}{2} = \sqrt{r/a - 1}$$
すなわち，
$$r = \frac{2a}{1 + \cos\theta}$$
最後の式は極座標による放物線の式になっています。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=528&file=Circle-to-Parabola.bmp)
Algodooシミュレーション。リターンキーで質量が半減します。
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[[Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=528&file=Circle-to-Parabola.phz]]
****母星質量が突然半減したときの惑星軌道
恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1174937711]]より。
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恒星質量$$M$$，惑星質量$$m$$，万有引力定数$$G$$
円軌道半径$$a$$，軌道速度$$v$$とする。
円運動の方程式より
$$\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$$
$$\therefore \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}\quad,v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$$
したがって，力学的エネルギーは
$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2a} = 0$$
$$v$$は第２宇宙速度であり楕円軌道になることは知られていますが，計算してみましょう。
極座標$$(r,\theta)$$を用います。
エネルギー保存
$$\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2) - \frac{GMm}{2r} = 0$$
角運動量保存
$$mr^2\dot{\theta} = mav$$
$$\therefore \dot{\theta} = \frac{av}{r^2} = \frac{\sqrt{GMa}}{r^2}$$
$$\therefore \dot{r} = \sqrt{ GM\left(\frac{1}{r} - \frac{a}{r^2}}\right)$$
したがって
$$\frac{dr}{d\theta} = \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = r\sqrt{\frac{r}{a} - 1}$$
$$\tan u = \sqrt{r/a - 1}$$ とおくと，
$$\theta = \int_0^r\frac{dr}{r\sqrt{r/a - 1}} = 2u$$
$$\therefore \tan\frac{\theta}{2} = \sqrt{r/a - 1}$$
すなわち，
$$r = \frac{2a}{1 + \cos\theta}$$
最後の式は極座標による放物線の式になっています。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=528&file=Circle-to-Parabola.bmp)
Algodooシミュレーション。リターンキーで質量が半減します。
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[[Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=528&file=Circle-to-Parabola.phz]]
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