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母星質量が突然半減したときの惑星軌道

恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。Yahoo!知恵袋より。

恒星質量 $M$ ，惑星質量 $m$ ，万有引力定数 $G$
円軌道半径 $a$ ，軌道速度 $v$ とする。

円運動の方程式より

$\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$

$\therefore \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}\quad,v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$

したがって，力学的エネルギーは

$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2a} = 0$

$v$ は第２宇宙速度であり楕円軌道になることは知られていますが，計算してみましょう。
極座標 $(r,\theta)$ を用います。

エネルギー保存

$\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2) - \frac{GMm}{2r} = 0$

角運動量保存

$mr^2\dot{\theta} = mav$

$\therefore \dot{\theta} = \frac{av}{r^2} = \frac{\sqrt{GMa}}{r^2}$

$\therefore \dot{r} = \sqrt{ GM\left(\frac{1}{r} - \frac{a}{r^2}}\right)$

したがって

$\frac{dr}{d\theta} = \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = r\sqrt{\frac{r}{a} - 1}$

$\tan u = \sqrt{r/a - 1}$ とおくと，

$\theta = \int_0^r\frac{dr}{r\sqrt{r/a - 1}} = 2u$

$\therefore \tan\frac{\theta}{2} = \sqrt{r/a - 1}$

すなわち，

$r = \frac{2a}{1 + \cos\theta}$

最後の式は極座標による放物線の式になっています。

Algodooシミュレーション。リターンキーで質量が半減します。

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最終更新：2011年11月08日 17:02

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