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****【解答】速度に比例する抵抗を受ける水平投射
問題 → [[速度に比例する抵抗を受ける水平投射]]
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(1)
$$m\dot{\boldsymbol{v}} = m\boldsymbol{g} - \eta\boldsymbol{v}$$
$$x$$，$$y$$方向の単位ベクトル $$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}$$ を用いれば
$$m(\dot{v}_x\boldsymbol{i} + \dot{v}_y \boldsymbol{j}) = -mg \boldsymbol{j} - \eta(v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j})$$
(2)
運動方程式を成分分解して
$$\dot{v}_x = -\frac{\eta}{m}v_x$$
$$\dot{v}_y = - g - \frac{\eta}{m}v_y$$
積分すると
$$v_x = v_0 \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)$$
$$v_y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$$
(3)
さらに積分して
$$x = \frac{mv_0}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right) \right\}$$
$$y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ t + \frac{m}{\eta}\exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$$
(4)
$$t\rightarrow\infty$$ より
$$x_{\rm max} = \frac{mv_0}{\eta}$$
を得る。
Algodooシミュレーションの設定は，
$$m=1.0 {\rm kg} , v_0=10 {\rm m/s} , \eta=0.20 {\rm Ns/m}$$
である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=574&file=Kuki-Teikou1.bmp)
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****【解答】速度に比例する抵抗を受ける水平投射
問題 → [[速度に比例する抵抗を受ける水平投射]]
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(1)
$$m\dot{\boldsymbol{v}} = m\boldsymbol{g} - \eta\boldsymbol{v}$$
$$x$$，$$y$$方向の単位ベクトル $$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}$$ を用いれば
$$m(\dot{v}_x\boldsymbol{i} + \dot{v}_y \boldsymbol{j}) = -mg \boldsymbol{j} - \eta(v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j})$$
(2)
運動方程式を成分分解して
$$\dot{v}_x = -\frac{\eta}{m}v_x$$
$$\dot{v}_y = - g - \frac{\eta}{m}v_y$$
積分すると
$$v_x = v_0 \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)$$
$$v_y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$$
(3)
さらに積分して
$$x = \frac{mv_0}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right) \right\}$$
$$y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ t + \frac{m}{\eta}\exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$$
(4)
$$t\rightarrow\infty$$ より
$$x_{\rm max} = \frac{mv_0}{\eta}$$
を得る。
Algodooシミュレーションの設定は，
$$m=1.0 {\rm kg} , v_0=10 {\rm m/s} , \eta=0.20 {\rm Ns/m}$$
である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=574&file=Kuki-Teikou1.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=574&file=Kuki-Teikou2.bmp)
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