【解答】速度に比例する抵抗を受ける水平投射

(1)

$m\dot{\boldsymbol{v}} = m\boldsymbol{g} - \eta\boldsymbol{v}$

$x$ ， $y$ 方向の単位ベクトル $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}$ を用いれば

$m(\dot{v}_x\boldsymbol{i} + \dot{v}_y \boldsymbol{j}) = -mg \boldsymbol{j} - \eta(v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j})$

(2)

運動方程式を成分分解して

$\dot{v}_x = -\frac{\eta}{m}v_x$

$\dot{v}_y = - g - \frac{\eta}{m}v_y$

積分すると

$v_x = v_0 \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)$

$v_y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$

(3)

さらに積分して

$x = \frac{mv_0}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right) \right\}$

$y = -\frac{mg}{\eta}\left\{ t + \frac{m}{\eta}\exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}$

(4)

$t\rightarrow\infty$ 　より

$x_{\rm max} = \frac{mv_0}{\eta}$

を得る。

Algodooシミュレーションの設定は，

$m=1.0 {\rm kg} , v_0=10 {\rm m/s} , \eta=0.20 {\rm Ns/m}$

である。

最終更新：2012年05月03日 11:42

添付ファイル

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