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****直線２連振子のエネルギー(3)
引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=589&file=2-ren4.bmp)


まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは，

$$L = \frac{1}{2}m_1{h_1}^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2}m_2{h_2}^2{\dot{\theta}}^2 + m_1gh_1\cos\theta + m_2gh_2\cos\theta$$

微分すると，

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = (m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)\dot{\theta}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -(m_1h_1 + m_2h_2)g\sin\theta$$

したがって，運動方程式は

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

となる。
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一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力）$$f_1,f_2$$を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると，

$$m_1h_1\ddot{\theta} = -m_1g\sin\theta - f_1$$

$$m_2h_2\ddot{\theta} = -m_2g\sin\theta + f_2$$

棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち，

$$f_1h_1 = f_2h_2$$

上２式より$$f_2$$を消去し，連立させて$$f_1$$も消去すれば

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

を得る。下図はPOLYMATHによる数値積分とAgodooシミュレーションによる角速度の時間変化のグラフである。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=589&file=2-ren5.bmp)
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****直線２連振子のエネルギー(3)
引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=589&file=2-ren4.bmp)


まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは，

$$L = \frac{1}{2}m_1{h_1}^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2}m_2{h_2}^2{\dot{\theta}}^2 + m_1gh_1\cos\theta + m_2gh_2\cos\theta$$

微分すると，

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = (m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)\dot{\theta}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -(m_1h_1 + m_2h_2)g\sin\theta$$

したがって，運動方程式は

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

となる。実は全体の慣性モーメント

$$I_a = m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2$$

を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。
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一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力）$$f_1,f_2$$を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると，

$$m_1h_1\ddot{\theta} = -m_1g\sin\theta - f_1$$

$$m_2h_2\ddot{\theta} = -m_2g\sin\theta + f_2$$

棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち，

$$f_1h_1 = f_2h_2$$

上２式より$$f_2$$を消去し，連立させて$$f_1$$も消去すれば

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

を得る。下図はPOLYMATHによる数値積分とAgodooシミュレーションによる角速度の時間変化のグラフである。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=589&file=2-ren5.bmp)
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