直線２連振子のエネルギー(3)

引き続いて直線２連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力（エネルギー移動の主役）を考慮した立式にも挑戦。

まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは，

$L = \frac{1}{2}m_1{h_1}^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2}m_2{h_2}^2{\dot{\theta}}^2 + m_1gh_1\cos\theta + m_2gh_2\cos\theta$

微分すると，

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = (m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)\dot{\theta}$

$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -(m_1h_1 + m_2h_2)g\sin\theta$

したがって，運動方程式は

$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$

となる。実は全体の慣性モーメント

$I_a = m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2$

を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。

一方，図のようにおもりが棒から受ける力（束縛力） $f_1,f_2$ を考慮して，個別に接線方向の運動方程式を立てると，

$m_1h_1\ddot{\theta} = -m_1g\sin\theta - f_1$

$m_2h_2\ddot{\theta} = -m_2g\sin\theta + f_2$

棒の質量は無視するのだから，棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが，いわゆる束縛条件となる。すなわち，

$f_1h_1 = f_2h_2$

上２式より $f_2$ を消去し，連立させて $f_1$ も消去すれば

$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$

を得る。下図はPOLYMATHによる数値積分とAgodooシミュレーションによる角速度の時間変化のグラフである。

最終更新：2012年12月06日 19:13

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