虹の広がり角

虹の広がりの角度を理論的に導出する。

【問題】（大学レベル）
白色光の分散は屈折の角度によらず起こるが，平行光線の小球による屈折と反射によって生じる虹は，原理的には入射光の平行移動に対して屈折して出て行く角度が停留を生じることによって起こる。ある角度の近傍に屈折光が集中するわけである。観測者を中心とする主虹（小球への出入り２回の屈折と１回の反射によって生じる）の視半径（広がりの中心角の半分）を求めよ。ただし，小球（水滴）の屈折率を $n$ とする。