正方形枠の回転
正方形に回転軸連結したリンクの回転を解析する。

正方形に組んだリンクの左下が固定軸,その他は自由軸である。



(1) 自由回転

まず,自由回転について解析する。図のようにおくと,系のラグランジアンは

L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\}

となる。ラグランジュ方程式をつくり,2階微分について解いて整理すると

\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}

\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}

を得る。

(2) 定トルク回転

固定軸のところで,互いに逆向きの定トルクを加えた場合について解析する。トルクをそれぞれ \tau_\theta , \tau_\phi とするとラグランジアンは,

L = 2ma^2\left\{\frac{5}{3}({\dot\theta}^2+{\dot\phi}^2) + 2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi - \theta)\right\} + \tau_\theta\theta + \tau_\phi\phi

となる。ラグランジュ方程式をつくり,2階微分について解いて整理すると

\ddot\theta = \frac{3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\phi}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\theta}^2\}+\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{5\tau_\theta - 3\cos(\phi - \theta)\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}

\ddot\phi = \frac{-3\sin(\phi - \theta)\{5{\dot\theta}^2 + 3\cos(\phi - \theta)\cdot{\dot\phi}^2\}-\displaystyle\frac{3}{4ma^2}\{3\cos(\phi - \theta)\tau_\theta - 5\tau_\phi\}}{25 - 9\cos^2(\phi - \theta)}

を得る。

Mathcadによる数値積分結果と,Algodooによるシミュレーション結果を下図に示す。

SquareG.jpg


Algodoo シーン


最終更新:2010年01月10日 12:39