ダークマターが公転に与える影響

OKWaveのQ&Aより。球対称の不明の質量分布（ダークマター）が太陽系に存在する場合の地球の運動について。

【問題】

　太陽系における地球の運動を考える。太陽の質量を $M$ 、地球の質量を $m$ とする。簡略化のため、それぞれを質点とみなし、地球以外の惑星の存在は無視する。太陽の質量は地球の質量に比べて十分に大きく、太陽は動かないものとする。ただし、太陽と地球以外に、ある物質A が太陽系全体に分布しているとする。
　このとき、以下の問いに答えよ。物質Aは、太陽を中心として球対称に一様な密度 $\rho$ で分布し、太陽系の外（地球の軌道から十分に離れたところ）には存在しないとする。また、地球と物質Aの摩擦は無視できるとし重力のみ考えればよい。重力定数は $G$ とする。