【解答】ダークマターが公転に与える影響

問１

物質Aは球対称であるから，Aからの引力は半径 $r$ の内側にあるAの質量が中心に集中した場合に等しい。

$F(r) = -\frac{GMm}{r^2} - \frac{G\rho\displaystyle\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)m}{r^2} = -\frac{GMm}{r^2} - \frac{4}{3}\pi G\rho m r$

したがって，第１項は無限遠基準，第２項は原点基準として積分して，ポテンシャルエネルギーは

$V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{2}{3}\pi G\rho mr^2$

問２

ラグランジアンは，

$L_a = K - V = \frac{1}{2}m({\dot r}^2 + r^2{\dot\phi}^2) + \frac{GMm}{r} - \frac{2}{3}\pi G\rho mr^2$

問３

角運動量保存により，

$L = mr^2\dot\phi = const. \quad \therefore \dot\phi = \frac{L}{mr^2}$

したがって，

$E = K + V = \frac{1}{2}m{\dot r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} + \frac{2}{3}\pi G\rho mr^2$

問４

有効ポテンシャル $U(r)$ の定義より

$E(r,\dot r) = K(r,\dot r) + V(r) = \frac{1}{2}m{\dot r}^2 + U(r)$

$\therefore U(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} + \frac{2}{3}\pi G\rho mr^2$

問５

ラグランジュ方程式または直接半径方向の運動方程式をたてると，

$mr_0{\omega_0}^2 = \frac{GMm}{{r_0}^2} + \frac{4}{3}\pi G\rho mr_0$

$\therefore \omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{{r_0}^3} + \frac{4}{3}\pi G\rho}$

公転周期は太陽のみの場合よりも短くなる。

※ $\omega_0$ が $m$ に依存するはずはない。

※ $\omega_0$ は，円軌道の安定条件

$\left[\frac{dU(r)}{dr}\right]_{r=r_0} = 0$

から得られると考えてもよい。こちらの方がエレガントで題意に沿うか？

青がダークマターありの有効ポテンシャル。角運動量が同じ場合，安定な $r$ は小さくなる。

【余談】
銀河のハロー部分には、恒星や星間物質などの「目に見える質量」の10倍以上の質量があることが、渦巻銀河の回転運動の研究から明らかになっている。上の考察はこの問題に応用・発展できる内容といえるかもしれない。

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最終更新：2010年01月22日 21:51

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