【解答】小球を発射する台車 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】小球を発射する台車

【問題】 $\rightarrow$ 　小球を発射する台車

(1)

求める小球と台車の速度を $v$ ， $V$ とすると，運動量保存により

$0 = mv + MV$

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$

両式を連立方程式として解いて，

$v = v_0\sqrt\frac{M}{M+m} \quad , \quad |V| = \frac{mv_0}{\sqrt{M(M+m)}}$

を得る。

(2)

小球と台車の速度の水平成分を $v_x$ ， $V_x$ とする。水平方向の運動量保存により

$0 = mv_x + MV_x$

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}M{V_x}^2$

両式を連立方程式として解くと，

$v_x = \sqrt\frac{M({v_0}^2-{v_y}^2)}{M+m} \quad , \quad V_x = -\sqrt\frac{m^2({v_0}^2-{v_y}^2)}{M(M+m)}$

求める飛距離を $l$ ，飛行時間を $t$ とすると，

$l = v_x t \quad , \quad v_y - g\frac{t}{2} = 0$

$\therefore l = \frac{2v_y}{g}\sqrt\frac{M({v_0}^2-{v_y}^2)}{M+m}$

(3)

$l^2$ の $v_y$ を含む因子を取り出すと，

${v_y}^2({v_0}^2-{v_y}^2) = -\left({v_y}^2-\frac{{v_0}^2}{2}\right)^2+\frac{{v_0}^4}{4}$

したがって， $l$ が最大となるのは $v_y = v_0/\sqrt 2$ のときで，最大値は

$l_{\rm max} = \frac{{v_0}^2}{g}\sqrt\frac{M}{M+m}$

となる。また，このときの小球と台車の速さは，

$\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2} = v_0\sqrt\frac{2M+m}{2(M+m)} \quad , \quad |V_x| = \frac{mv_0}{\sqrt{2M(M+m)}}$

さらに，

$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x - V_x} = \sqrt\frac{M}{M+m}$

となる。

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最終更新：2010年01月29日 18:23

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