【解答】糸でつながれた点電荷の運動 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】糸でつながれた点電荷の運動

【問題】 $\rightarrow$ 　糸でつながれた点電荷の運動

重心を原点にとってCの座標を $(x,y)$ とおくと，Aの座標は $(0,-2y)$ であるから，エネルギー保存により，

$2\times\frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2}m(2\dot{y})^2 = k_0q^2\left(\frac{1}{l}-\frac{1}{2x}\right)$

$\therefore \dot{x}^2 + 3\dot{y}^2 = \frac{k_0q^2}{m}\left(\frac{1}{l} - \frac{1}{2x}\right)$

となる。束縛条件は，

$x^2 + 9y^2 = l^2$

時間微分して

$x\dot x + 9y\dot y = 0$

以上から， $\dot x$ および $\dot y$ を $x$ または $y$ の関数として表すことができる。計算はかなり煩雑で，Cが $(x,y)$ にあるときの速さ２乗は

$\dot x^2 = \frac{3k_0q^2}{2ml}\cdot\frac{(2x-l)(l^2-x^2)}{x(3l^2-2x^2)}$

$\dot y^2 = \frac{k_0q^2}{6ml}\cdot\frac{x(2x-l)}{3l^2-2x^2}$

$\dot x^2 + \dot y^2 = \frac{k_0q^2}{6ml}\cdot\frac{(2x-l)(9l^2-8x^2)}{x(3l^2-2x^2)}$

となる。Aの速さ $2\dot y$ は， $x=l$ で最大値

$V_{\rm max} = \sqrt\frac{2k_0q^2}{3ml}$

をとるが，BとCの速さ $v=\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}$ は $x\simeq 0.83l$ で最大となる。計算はかなり煩雑で， $v^2$ の $x$ による微分をとっても因数分解ができず，４次方程式を解くことになる。この煩雑さから考えるに，出題者は束縛条件を考慮していないのではないかという疑義が生じる。

Mathcadによる数値積分結果

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最終更新：2010年02月01日 22:22

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