相対運動と換算質量
2質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する2体系について考察しよう。
質量がm_1,m_2の2質点の位置を\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2とし,また相互作用は,
\pm\boldsymbol{F}=\pm F(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)\cdot\frac{\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|}
と書けるものとする。簡単のため外力はないものとしよう。
2質点の運動方程式は,

m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1} = \,\,\,\,\,\boldsymbol{F} ---(1)
m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2} = -\boldsymbol{F} ---(2)

となる。辺々加えると,
m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2}=0
ここで,系の総質量M=m_1+m_2を用いて,系の重心の座標を
\boldsymbol{r}_G=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{M}
と書けば,重心の運動方程式

M\ddot{\boldsymbol{r}}_G=0 ---(3)

を得る。外力があれば,それが右辺にくることになる。
また,2質点の運動方程式から
\ddot{\boldsymbol{r}_1}-\ddot{\boldsymbol{r}_2} = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\boldsymbol{F}
が得られ,換算質量
\mu = \frac{m_1m_2}{M}
および,相対座標\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2を用いて,

\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} = F(r)\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r} ---(4)

と書けることになる。これが相対運動の運動方程式である。
(1)(2)の運動方程式が,同値な2つの運動方程式(3)(4)に書き換えられたことになる。
もちろん,重心系において2つの質点の運動方程式をそれぞれ立てることは可能だが,相対座標と換算質量による表現の方が,エレガントで簡明な記述を与える。

相互作用が保存力であれば,位置エネルギー
U=-\int\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}
が定義され,(4)をエネルギー積分すれば,エネルギー保存

E = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2+U = const.

を得る。

相互作用が上で定義したように中心力であれば,外力ゼロのとき(4)と\boldsymbol{r}とのベクトル積をとることにより,角運動量保存

\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \mu \dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{c}onst.

を得る。

E,\boldsymbol{L}が重心系における2質点の力学的エネルギーの合計および角運動量の合計であることはいうまでもないが,一応確認しておく。

K = \frac{1}{2}m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2
   = \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2
   =\frac{1}{2}\frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2+ \frac{1}{2}\frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)^2
   = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2 = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2

\boldsymbol{L} = (\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_G)\times m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G) + (\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_G)\times m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)
   = \left(\boldsymbol{r}_1-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)
    + \left(\boldsymbol{r}_2-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)
   = \frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) + \frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)
   = \frac{m_1m_2}{M}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) = \boldsymbol{r}\times\mu\dot{\boldsymbol{r}}\,\,\ldotp

名前:
コメント:

最終更新:2009年01月13日 18:12