相対運動と換算質量

２質点が相互作用を及ぼしあいながら運動する２体系について考察しよう。
質量が $m_1,m_2$ の２質点の位置を $\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2$ とし，また相互作用は，
$\pm\boldsymbol{F}=\pm F(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)\cdot\frac{\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2}{|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|}$
と書けるものとする。簡単のため外力はないものとしよう。
２質点の運動方程式は，

$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1} = \,\,\,\,\,\boldsymbol{F}$ 　---(1)
$m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2} = -\boldsymbol{F}$ 　---(2)

となる。辺々加えると，
$m_1\ddot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\ddot{\boldsymbol{r}_2}=0$
ここで，系の総質量 $M=m_1+m_2$ を用いて，系の重心の座標を
$\boldsymbol{r}_G=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{M}$
と書けば，重心の運動方程式

$M\ddot{\boldsymbol{r}}_G=0$ 　---(3)

を得る。外力があれば，それが右辺にくることになる。
また，２質点の運動方程式から
$\ddot{\boldsymbol{r}_1}-\ddot{\boldsymbol{r}_2} = \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\boldsymbol{F}$
が得られ，換算質量
$\mu = \frac{m_1m_2}{M}$
および，相対座標 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2$ を用いて，

$\mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} = F(r)\cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r}$ 　---(4)

と書けることになる。これが相対運動の運動方程式である。
(1)(2)の運動方程式が，同値な２つの運動方程式(3)(4)に書き換えられたことになる。
もちろん，重心系において２つの質点の運動方程式をそれぞれ立てることは可能だが，相対座標と換算質量による表現の方が，エレガントで簡明な記述を与える。

相互作用が保存力であれば，位置エネルギー
$U=-\int\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$
が定義され，(4)をエネルギー積分すれば，エネルギー保存

$E = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2+U = const.$

を得る。

相互作用が上で定義したように中心力であれば，外力ゼロのとき(4)と $\boldsymbol{r}$ とのベクトル積をとることにより，角運動量保存

$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\times \mu \dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{c}onst.$

を得る。

$E,\boldsymbol{L}$ が重心系における２質点の力学的エネルギーの合計および角運動量の合計であることはいうまでもないが，一応確認しておく。

$K = \frac{1}{2}m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)^2$
　　 $= \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2+\frac{1}{2}m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)^2$
　　 $=\frac{1}{2}\frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2+ \frac{1}{2}\frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)^2$
　　 $= \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}}(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2)^2 = \frac{1}{2}\mu \dot{\boldsymbol{r}}^2$

$\boldsymbol{L} = (\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_G)\times m_1(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_G) + (\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_G)\times m_2(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_G)$
　　 $= \left(\boldsymbol{r}_1-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_1\left(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$
　　　 $+ \left(\boldsymbol{r}_2-\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}\right)\times m_2\left(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1+m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}{m_1+m_2}\right)$
　　 $= \frac{m_1{m_2}^2}{M^2}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) + \frac{{m_1}^2m_2}{M^2}(\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_2-\dot{\boldsymbol{r}}_1)$
　　 $= \frac{m_1m_2}{M}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times(\dot{\boldsymbol{r}}_1-\dot{\boldsymbol{r}}_2) = \boldsymbol{r}\times\mu\dot{\boldsymbol{r}}\,\,\ldotp$

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最終更新：2009年01月13日 18:12

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