二重振子のモード

二重振子の規準振動（ノーマルモード）のときに現れる，糸でつながれた点電荷の運動と同じ最大速問題。

下図のような二重振子の微小振動を考える。

ラグランジアンは，二重振子の運動方程式でも紹介したように

$L = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})^2 + mgl\cos\theta_1 + mgl(\cos\theta_1+\cos\theta_2)$

　　　　※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。

微分すると

$\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -2mgl\sin\theta_1 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} = ml^2(2\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})$

$\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -mgl\sin\theta_2 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} = ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})$

微小振動の近似をとって，運動方程式は

$\ddot{\theta_1} = -\frac{g}{l}(2\theta_1-\theta_2)$

$\ddot{\theta_2} = -\frac{2g}{l}(\theta_2-\theta_1)$

となる。

$\theta_1$ および $\theta_2$ が等しい振動数をもつ規準振動（ノーマルモード）の角振動数を求める。

$\theta_1 = \theta_{10}e^{-i\omega t} \quad , \quad \theta_2 = \theta_{20}e^{-i\omega t}$

として，運動方程式に代入すると条件

$\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{2g/l-\omega^2}{g/l} = \frac{2g/l}{2g/l-\omega^2}\quad {\rm or} \qquad \left|\begin{array}{cc} 2g/l-\omega^2\qquad 2g/l\\\quad g/l\qquad 2g/l-\omega^2\end{array}\right| = 0$

を得る。これを解くと，

$\omega^2 = (2\pm\sqrt 2)\frac{g}{l}\quad , \quad \frac{\theta_2}{\theta_1} = \mp\sqrt 2$

となる（複号同順）。
数値解析およびAlgodooシミュレーションによると， $\theta_1,\theta_2$ の変位が逆の場合のモードに対して，糸でつながれた点電荷の運動と同じ最大速の問題が生じる。すなわち，下の質点の速さが最大値をとるのは最下点ではない。

Mathcadによる数値積分結果（微小振動近似による周期の誤差が見られる）

Algodooによるシミュレーション

Algodooシーンのダウンロード

タグ：

+ タグ編集

「二重振子のモード」をウィキ内検索

最終更新：2010年02月12日 22:44

添付ファイル

科学のおもちゃ箱 @wiki

二重振子のモード

二重振子のモード

メニュー

更新履歴