【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子

運動方程式は，直接変位と力からでも十分書けるが，指示に従ってラグランジアンから導出する。

$L = \frac{1}{2}m({\dot{x}_1}^2 + {\dot{x}_2}^2 + {\dot{x}_3}^2) - \frac{1}{2}k\{(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2\} - \frac{1}{2}K({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)$

運動方程式は，

$m\ddot{x}_1 = -(k+K)x_1 + kx_2$
$m\ddot{x}_2 = kx_1 - (2k+K)x_2 + kx_3$
$m\ddot{x}_3 = kx_2 - (k+K)x_3$

$x_j = a_je^{i\omega t}$ と置くと，方程式

$\begin{pmatrix} m\omega^2 - (k+K) \qquad\qquad k \qquad\qquad\qquad 0 \\ \qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (2k+K) \qquad\qquad k \\ \qquad\qquad 0 \qquad\qquad\qquad\qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (k+K)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} = 0$

を得る。 $a_j$ を消去して， $\omega$ に関する方程式

$\left|\begin{array}　m\omega^2 - (k+K) \qquad\qquad k \qquad\qquad\qquad 0 \\ \qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (2k+K) \qquad\qquad k \\ \qquad\qquad 0 \qquad\qquad\qquad\qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (k+K) \end{array}\right| = 0$

を解き，対応する振幅 $a_j$ を求めると，規準振動として次を得る。

$a_1 = -a_3 \,,\, a_2=0$ のとき，　　 $\omega_1 = \sqrt\frac{k+K}{m}$
$a_1 = a_3 = -a_2/2$ のとき，　　 $\omega_2 = \sqrt\frac{3k+K}{m}$
$a_1 = a_2 = a_3$ のとき，　　　　 $\omega_3 = \sqrt\frac{K}{m}$

※Algodooの設定は， $m=0.25{\rm kg}\,,\,k=10{\rm N/m}\,,\,K=5.0{\rm N/m}$ である。弾性棒は作れないので，ばねに置き換えた。

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最終更新：2010年03月09日 19:02

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