【解答】ばね振子に励振される振子

(1)

小球の位置と速度は，

$x = X + l\sin\theta$
$y = l\cos\theta$
$\dot x = \dot X + l\dot\theta\cos\theta$
$\dot y = -l\dot\theta\sin\theta$

したがって，ラグランジアンは

$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) + \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + mgy - \frac{1}{2}kX^2$
　　 $= \frac{1}{2}m(\dot{X}^2+2\dot Xl\dot\theta\cos\theta+l^2\dot{\theta}^2)+\frac{1}{2}M\dot{X}^2 + mgl\cos\theta - \frac{1}{2}kX^2$

微分して運動方程式をたてると，

$(M+m)\ddot{X} + ml\ddot\theta\cos\theta - ml\dot\theta^2\sin\theta = -kX$
$m\ddot{X}l\cos\theta + ml^2\ddot\theta = -mgl\sin\theta$

$\theta \ll 1$ の場合について近似すると，

$\ddot{X} + \frac{l\ddot\theta}{\alpha+1} = -\omega_k^2X \quad , \quad \omega_k = \sqrt\frac{k}{(\alpha+1)m} \quad,\quad \alpha=\frac{M}{m}$
$\ddot{X} + l\ddot\theta = -\omega_g^2l\theta \quad,\quad \omega_g = \sqrt\frac{g}{l}$

を得る。

(2)

(1)で得られた運動方程式において， $X=X_0\cos(\omega t+\phi)\,,\,\theta=\theta_0(\omega t+\phi)$ とおくと，

$(\omega^2-\omega_k^2)X_0 + \frac{\omega^2}{\alpha+1}l\theta_0 = 0$
$\omega^2X_0 + (\omega^2-\omega_g^2)l\theta_0 = 0$

これらが， $X_0,\theta_0$ に対して矛盾のない関係を与えるためには，

$(\omega^2-\omega_k^2)(\omega^2-\omega_g^2)-\frac{\omega^4}{\alpha+1} = 0$

が成立する必要がある。ここで， $M \gg m$ すなわち， $\alpha \gg 1$ の極限をとれば，規準振動（モード）の角振動数として

$\omega = \omega_k\,,\,\omega_g\qquad \omega_k \simeq \sqrt\frac{k}{M}\,,\,\omega_g = \sqrt\frac{g}{l}$

を得る。

(3)

$X(t) = A\cos\omega_k t + A\cos\omega_g t$
$l\theta(t) = A\cos\omega_k t - A\cos\omega_g t$

および，

$\dot{X}(t) = -\omega_kA\sin\omega_k t - \omega_gA\sin\omega_g t$
$l\dot\theta(t) = -\omega_kA\sin\omega_k t + \omega_gA\sin\omega_g t$

は，初期条件　 $X(0)=2A,\theta(0)=0,\dot{X}(0)=0,\dot\theta(0)=0$ 　を満足する。

このとき，

$l\theta(t) = A\cos\left(\frac{\omega_k+\omega_g}{2}t+\frac{\omega_k-\omega_g}{2}t\right) - A\cos\left(\frac{\omega_k+\omega_g}{2}t-\frac{\omega_k-\omega_g}{2}t\right)$
　　　 $= 2A\sin\left(\frac{\omega_g-\omega_k}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_g+\omega_k}{2}t\right)$