軌道方程式から位置計算まで
Yahoo!知恵袋のQ&Aから。惑星の位置計算に,こんな解析的な方法があることを知った。

動径方向および方位角方向の運動方程式より,

\ddot{r}-r\dot{\phi}^2 = -\frac{GM}{r^2}

r^2\dot{\phi} = h

両式から\dot{\phi}を消去すればr(t)に関する微分方程式を得るから,それを積分すれば,惑星位置(r(t),\phi(t))を得ることは可能である。ただし,解析的に積分できるかどうかはわからない。いまや数値積分は常套手段であるから,これで目的は果たされているのではあるが,Yahoo!知恵袋への回答に挑戦して,以下のような解析的な解法があることを知った。


r(\phi) = \frac{l}{1+e\cos\phi}

は,変数変換 u=1/r というテクニックはあるものの,常識的な手順で導出することができた。
続いて,これを

r^2\dot{\phi} = h

に代入し,\phi(t) に関する微分方程式をつくる。すなわち,

\left(\frac{l}{1+e\cos\phi}\right)^2\frac{d\phi}{dt} = h

これを,かなりトリッキーな変数変換を用いて解析的に解く。

\tau_\phi = \tan\frac{\phi}{2} = \varepsilon \tau_u  ただし, \varepsilon = \sqrt\frac{1+e}{1-e} \quad , \quad \tau_u=\tan\frac{u}{2}

とおく。微分すると,

d\phi =\frac{\varepsilon(1+{\tau_u}^2)}{1+\varepsilon^2{\tau_u}^2}du

また,

\cos\phi = \frac{1-{\tau_\phi}^2}{1+{\tau_\phi}^2} = \frac{1-\varepsilon^2{\tau_u}^2}{1+\varepsilon^2{\tau_u}^2}

を得る。これらを上の\phi(t) に関する微分方程式に代入すると,

\frac{l^2\varepsilon(1+\varepsilon^2{\tau_u}^2)}{(1+e)^2(1+{\tau_u}^2)}du = hdt

\tau_uを書き戻して左辺をさらに計算すると,

\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot(1-e \cos u) du = hdt

を得る。初期条件u(0)=0のもとに積分すると,

\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot(u-e \sin u) = ht

時間 [0,T] における\phiの変域 [0,2\pi] は,uの変域 [0,2\pi] に移るので,t=T のとき u=2\pi すなわち,

\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot2\pi = hT \quad\therefore h=\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot\frac{2\pi}{T}

結局

u-e\sin u = \frac{2\pi}{T}t

の結果に至る。

さて,この結果はt(u)を示してはいるが,u(t)は解析的には導けそうにない。このあとどう展開するのかは今のところ不明なので,ひとまず保留としておこう。

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最終更新:2010年04月15日 14:48