軌道方程式から位置計算まで - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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軌道方程式から位置計算まで

Yahoo!知恵袋のQ&Aから。惑星の位置計算に，こんな解析的な方法があることを知った。

動径方向および方位角方向の運動方程式より，

$\ddot{r}-r\dot{\phi}^2 = -\frac{GM}{r^2}$

$r^2\dot{\phi} = h$

両式から $\dot{\phi}$ を消去すれば $r(t)$ に関する微分方程式を得るから，それを積分すれば，惑星位置 $(r(t),\phi(t))$ を得ることは可能である。ただし，解析的に積分できるかどうかはわからない。いまや数値積分は常套手段であるから，これで目的は果たされているのではあるが，Yahoo!知恵袋への回答に挑戦して，以下のような解析的な解法があることを知った。

運動方程式から軌道方程式まで（１）～運動方程式から軌道方程式まで（３）において紹介したように，軌道方程式

$r(\phi) = \frac{l}{1+e\cos\phi}$

は，変数変換 $u=1/r$ というテクニックはあるものの，常識的な手順で導出することができた。
続いて，これを

$r^2\dot{\phi} = h$

に代入し， $\phi(t)$ に関する微分方程式をつくる。すなわち，

$\left(\frac{l}{1+e\cos\phi}\right)^2\frac{d\phi}{dt} = h$

これを，かなりトリッキーな変数変換を用いて解析的に解く。

$\tau_\phi = \tan\frac{\phi}{2} = \varepsilon \tau_u$ 　　ただし，　 $\varepsilon = \sqrt\frac{1+e}{1-e} \quad , \quad \tau_u=\tan\frac{u}{2}$

とおく。微分すると，

$d\phi =\frac{\varepsilon(1+{\tau_u}^2)}{1+\varepsilon^2{\tau_u}^2}du$

また，

$\cos\phi = \frac{1-{\tau_\phi}^2}{1+{\tau_\phi}^2} = \frac{1-\varepsilon^2{\tau_u}^2}{1+\varepsilon^2{\tau_u}^2}$

を得る。これらを上の $\phi(t)$ に関する微分方程式に代入すると，

$\frac{l^2\varepsilon(1+\varepsilon^2{\tau_u}^2)}{(1+e)^2(1+{\tau_u}^2)}du = hdt$

$\tau_u$ を書き戻して左辺をさらに計算すると，

$\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot(1-e \cos u) du = hdt$

を得る。初期条件 $u(0)=0$ のもとに積分すると，

$\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot(u-e \sin u) = ht$

時間 $[0,T]$ における $\phi$ の変域 $[0,2\pi]$ は， $u$ の変域 $[0,2\pi]$ に移るので， $t=T$ のとき $u=2\pi$ すなわち，

$\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot2\pi = hT \quad\therefore h=\frac{l^2\varepsilon}{(1+e)^2(1-e)}\cdot\frac{2\pi}{T}$

結局

$u-e\sin u = \frac{2\pi}{T}t$

の結果に至る。

さて，この結果は $t(u)$ を示してはいるが， $u(t)$ は解析的には導けそうにない。このあとどう展開するのかは今のところ不明なので，ひとまず保留としておこう。

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最終更新：2010年04月15日 14:48