【解答】円柱の段差乗り上げ

突起との衝突時に受ける撃力は，突起まわりのトルクを持たないので，突起まわりの角運動量は衝突前後で保存される。衝突直後の角速度を $\omega$ とすると，

$mr\omega_0(r-h) + \frac{1}{2}mr^2\omega_0 = \left(\frac{1}{2}mr^2 + mr^2\right)\omega$
$\therefore \omega = \frac{(3r-2h)}{3r}\omega_0$

衝突後のある時刻における，突起と中心を結ぶ半径の仰角 $\theta$ として，エネルギー保存則により

$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^2\right)\dot{\theta}^2 + mgr \sin\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^2\right)\omega^2 + mg(r-h)$

突起を越える限界において， $\theta=\pi/2$ のとき $\dot\theta=0$ より

$mgr > \frac{3}{4}mr^2\left\{ \frac{(3r-2h)\omega_0}{3r} \right\}^2 + mg(r-h)$

$h$ について整理すると，

$h^2 - \frac{3(g+r{\omega_0}^2)}{{\omega_0}^2}h +\frac{9r^2}{4} < 0$

題意に沿う範囲は，

$h > \frac{3}{2{\omega_0}^2}\left\{ g + r{\omega_0}^2 -\sqrt{ g(g+2r{\omega_0}^2) }\right\}$

となる。

ぎりぎり乗り上げたところ（ $h=0.38{\rm [m]}$ )

タグ：

+ タグ編集

最終更新：2010年07月26日 09:52

添付ファイル

科学のおもちゃ箱 @wiki