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有効ポテンシャルと惑星の軌道
Yahoo!知恵袋への回答をきっかけに，有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。
太陽を原点とし，太陽および惑星の速度を含む軌道面上における平面極座標を(r,\phi)とする。

惑星の力学的エネルギーは，

E = \frac{1}{2}m( \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 ) - \frac{GMm}{r} = {\rm const.}

角運動量保存により，

L = mr^2\dot{\phi} = {\rm const.}\quad \therefore \dot{\phi} = \frac{L}{mr^2}

したがって，

E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + V(r)

を得る。ここに，

V(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}

は動径方向を１次元運動として取り出して解析するのに用いられる「有効ポテンシャルエネルギー」である。第１項は遠心力のポテンシャルエネルギーといえる。



V(r)は上図のような形状になり，

\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - V(r) \ge 0

となる範囲で運動が起こる。惑星の力学的エネルギーEの大小によって，軌道は次のように分離する。現実の惑星はもちろん，(3)に当たる。V(r)の最小値をV_{\rm min}とするとき，V_{\rm min} < 0である。

(1) E < V_{\rm min} のとき

惑星はいかなる運動エネルギーも持つことができず，軌道は成立しない。

(2) E = V_{\rm min} のとき

\dot{r}=0となるから惑星は円軌道をとる。軌道半径は，

r = -\frac{GMm}{2E} = \frac{L^2}{GMm^2}

となる。

(3) V_{\rm min} < E < 0　のとき

運動は，E - V(r) \ge 0を満たすrの範囲で起こる。

不等式を具体的に書いて，E < 0 に注意しつつ r について整理すると，

r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \le 0

となる。左辺 = 0 の解をr_{\rm min},r_{\rm max} とおけば，

r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} - \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}
r_{\rm max} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}

となり，運動はr_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}の範囲に限定される。r_{\rm min}は近日点距離，r_{\rm max}は遠日点距離に他ならない。

(4) E \ge 0 のとき

不等式は，

r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \ge 0

となるから，左辺 = 0 の解のうち意味のある正の方をr_{\rm min}とおくと，

r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}

運動は，r \ge r_{\rm min} で起こる。E = 0 で放物線軌道，E > 0 で双曲線軌道となる。

【参考】

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最終更新：2010年08月12日 09:59