【解答】ばねで連結された２質点の縦振動

(1)

運動方程式は，

$m\ddot{x_1} = -k(x_1+l-l_0) + k(x_2-x_1+l-l_0) = -k(2x_1-x_2)$
$m\ddot{x_2} = -k(x_2-x_1+l-l_0) + k(l-l_0-x_2) = -k(2x_2-x_1)$

$x_1=a_1\cos\omega t,x_2=a_2\cos\omega t$ とおくと，

$(2{\omega_0}^2-\omega^2)a_1 - {\omega_0}^2a_2 = 0$
$-{\omega_0}^2a_1 + (2{\omega_0}^2-\omega^2)a_2 = 0$

ただし，

$\omega_0 = \sqrt\frac{k}{m}$

２式が同じ振幅比を与えるためには，

$(2{\omega_0}^2-\omega^2)^2 - {\omega_0}^4 = 0 \qquad \therefore \omega = \omega_0,\sqrt 3 \omega_0$

である。

(2)

$\omega=\omega_0$ のとき， $a_2/a_1=1$

$\omega=\sqrt 3 \omega_0$ のとき， $a_2/a_1 = -1$

したがって，一般解は

$x_1 = a\cos\omega_0 t +b\cos\sqrt 3 \omega_0 t$
$x_2 = a\cos\omega_0 t -b\cos\sqrt 3 \omega_0 t$

となる。

上： $b=0$ 　下： $a=0$

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最終更新：2010年08月20日 18:51

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