ベクトル演算の行列化(2)

基本公式の確認とベクトル演算公式の証明。

ベクトル演算を行列化する上での基本公式を整理しておこう。
以下，行列積の表記の中で「何もつかない」ベクトルは列ベクトルとする。

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = ^t\!\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$

$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = ^*\!\!\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}$

$^*\!(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}\,^t\!\boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}\,^t\!\boldsymbol{a}$ 　　ただし，

　　　　 $^*\!\boldsymbol{A} = \Big(\varepsilon_{ijk}A_k\Big) = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad A_z\quad-A_y\\-A_z\qquad 0\qquad A_x\\\,\,A_y\,\,-A_x\qquad 0\end{matrix}\right),\qquad^*(^*\!\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}$

手始めにベクトルの重積の証明を。

$(1)\quad\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$

　　 $\because\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A} = ^t\!(^*\!\boldsymbol{C}\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} = ^t\!\!\boldsymbol{B}^t\!(^*\!\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = -^t\!\boldsymbol{B}^*\!\boldsymbol{C}\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}$

$(2)\quad\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$

　　 $\because\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = ^*\!\!(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{B}\,^t\boldsymbol{C}-\boldsymbol{C}\,^t\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$

$(3)\quad(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})$

　　 $\because(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!(^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!\!\boldsymbol{A}(-^*\!\boldsymbol{B})(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!\!\boldsymbol{A}^*\!(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D})\boldsymbol{B}$
　　　　　 $= ^t\!\!\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}^t\!\boldsymbol{D} - \boldsymbol{D}^t\!\boldsymbol{C})\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})$

ベクトル演算の行列化(3)へ続く

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最終更新：2010年10月29日 08:53

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