等質量の弾性斜衝突

Yahoo!知恵袋より。等質量の質点A，Bがあり，静止したBにAが弾性衝突をすると，衝突後の相互の運動方向が直交することの証明。

【問題】
質量の同じ２つの質点A，Bがあり，静止したBにAを完全弾性衝突させる。衝突後の２つの質点の運動方向が互いに直交することを示せ。

【解答】知恵袋の回答はともかくとして，成分を用いずになるべくエレガントにいきたい。

(1)　実験室系に徹する考察

衝突前の質点Aの速度を $\boldsymbol{v}_0$ ，衝突後のAの速度を $\boldsymbol{U}$ ，Bの速度を $\boldsymbol{V}$ とすると，運動量保存により

$\boldsymbol{v}_0 = \boldsymbol{U} + \boldsymbol{V}$

エネルギー保存により，

${v_0}^2 = U^2 + V^2$

上の式を２乗して下の式を考慮すると，

$\boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{V} = 0\qquad\therefore \boldsymbol{U}\bot\boldsymbol{V}$

※運動量保存は３つのベクトルが三角形をなすこと，エネルギー保存はそれが直角三角形であること（三平方の定理）を示しているので，実は立式の時点で証明は終わっている。

(2)　質量中心系を用いる考察

衝突前の質点Aの速度を $\boldsymbol{v}_0$ とすれば，質量中心系では衝突前のAの速度は $\boldsymbol{v}_0/2$ ，Bの速度は $-\boldsymbol{v}_0/2$ である。また，衝突後のAの速度を $\boldsymbol{W}$ とおくと，運動量保存によりBの速度は $-\boldsymbol{W}$ となる。