【解答】高所からの斜方投射の到達領域

なまじっか放物運動の数学を知っていて，「まずは軌道方程式を求めて…」などとホイホイ始めると，泥沼にはまる。自由落下系に乗り換えると無重力で等速直線運動となるからわかりやすい。図のようになることは，初速度 $v_0$ の仰角を $\theta$ として，

$y = h + v_0\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$

と比較しても納得できる。

初速度 $v_0$ ，重力加速度 $g$ ，落下時間 $t$ ，落下点の水平到達距離を $L$ とすると，図より

$L^2 = {v_0}^2t^2 - \left(\frac{1}{2}gt^2 - h\right)^2$

　　 $= -\frac{1}{4}g^2\left\{t^2 - \frac{2({v_0}^2 + gh)}{g^2}\right\}^2 + \frac{({v_0}^2 + gh)^2}{g^2} - h^2$

したがって，落下点の最大水平距離は， $L_0 = \frac{{v_0}^2}{g}$ を用いて

$L_{\rm max.} = L_0\sqrt{1 + \frac{2h}{L_0}}$

となる。

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最終更新：2011年08月04日 20:38

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