質量が減少する主星まわりの惑星の運動

質量が減少する主星のまわりを公転する惑星の運動がどう変化するか，という東北大院試の問題。OKWaveより。

【問題】

密度が一様な球の質量分布が作る重力場を考える。質量 $m$ の質点がこの重力ポテンシャル $\phi$ の中を、衝突せずに運動する。球の密度を $\rho$ 、半径 $a$ とし、球の中心を原点とする平面極座標を $(r,\theta)$ とする。

今、重力場を作る球の半径は一定のまま,密度が $s$ 倍 $(0 &lt; s &lt; 1)$ に変化した場合を考える。このとき初期半径 $r_c$ で円運動する質点の運動の変化を考える

a.　この球の密度変化が軌道周期に比べて十分短い時間で、瞬間的に起こったとする。この場合、質点が球の重力場に束縛され続けるための $s$ に対する条件を書け。

b.　この密度変化が軌道周期に比べて十分長い時間かけて起こったとする。この場合、運動はどのように変化するか。
ヒント：ゆっくりした系の時間変化においては，各空間方向における作用積分
$J_i = \oint p_i dq_i$
が断熱不変量となって保存される。

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最終更新：2011年08月22日 11:13

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