【解答】質量が減少する主星まわりの惑星の運動

主星の質量減少前の質点の公転速度を $v_c$ とすると，円運動の方程式は

$\frac{m{v_c}^2}{r_c} = \frac{GMm}{{r_c}^2}$

となる。ここに，

$M = \frac{4}{3}\pi a^3\rho$

である。求める条件はエネルギー保存により

$\frac{1}{2}m{v_c}^2 - \frac{GsMm}{r_c} < 0$

２式より

$s > \frac{1}{2}$

を得る。

$\oint p_\theta d\theta = {\rm const.}$

すなわち，角運動量保存より

$rv = r_c v_c$

ゆっくり変化する $s$ に対する軌道半径および軌道速度を $r,v$ とすると，円運動の方程式より

$\frac{mv^2}{r} = \frac{GsMm}{r^2}$

$\therefore r = \frac{GsM}{v^2}$

２式より，

$v \propto s$

$r \propto \frac{1}{s}$

の関係を保ちながら軌道運動が変化する。

Algodooでは，実行しながら主星の密度設定を少しずつ減少させてみた。密度が半分になったとき，軌道半径が２倍，軌道速度が半分になることが確認できた。

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最終更新：2011年08月22日 11:33

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