球座標による応力の平衡方程式

球座標による応力のつりあいの微分方程式を計算してみた。Yahoo!知恵袋より。

応力テンソル $\mathcal{T}$ ，単位体積当たり物体力（体積力）を $\boldsymbol{f}$ とすると，つりあいは

$\nabla\cdot\mathcal{T} + \boldsymbol{f} = 0$

と書ける。基底のダイアド積（直積）を用いると第１項は，

$\nabla\cdot\mathcal{T} = \boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k(\tau_{ij}\boldsymbol{e}_i\circ\boldsymbol{e}_j)$

　　 $= \partial_k\tau_{ij}(\boldsymbol{e}_k\cdot\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\partial_k\boldsymbol{e}_j$

　　 $= \partial_k\tau_{ij}\delta_{ki}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + \delta_{ki}\tau_{ij}\partial_k\boldsymbol{e}_j$

　　 $= \partial_i\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + \tau_{ij}\partial_i\boldsymbol{e}_j$

となる。最右辺第３項が，通常のベクトルの発散と異なってテンソルであるために付加される部分である。したがって，第１・２項はベクトルの発散の公式を用いてもよい。ただし，上式において微分演算子は

$\partial_i = \frac{\partial}{h_i\partial x_i}$

と，スケール因子を含むものとする。すなわち，球座標においては

$\partial_1 = \partial_r = \frac{\partial}{\partial r}\quad,\quad\partial_2 = \frac{1}{r}\partial_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\quad,\quad \partial_3 = \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$

である。運動座標系のシステマティックな導出(2)より基底の微分結果

$d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + d\phi\sin\theta \boldsymbol{e}_\phi$
$d\boldsymbol{e}_\theta = -d\theta\boldsymbol{e}_r + d\phi\cos\theta \boldsymbol{e}_\phi$
$d\boldsymbol{e}_\phi = -d\phi(\sin\theta\boldsymbol{e}_r + \cos\theta\boldsymbol{e}_\theta)$

を用いて計算すれば，やや長い計算の後に下記を得る。

$\nabla\cdot\mathcal{T} = \boldsymbol{e}_r\left(\partial_r\sigma_r + \frac{1}{r}\partial_\theta\tau_{r\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\tau_{\phi r} + \frac{2\sigma_r - \sigma_\theta - \sigma_\phi + \tau_{r\theta}\cot\theta}{r}\right)$

　　　 $+ \boldsymbol{e}_\theta\left(\partial_r\tau_{r\theta} + \frac{1}{r}\partial_\theta\sigma_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\tau_{\phi\theta} + \frac{3\tau_{r\theta} + (\sigma_\theta - \sigma_\phi)\cot\theta}{r}\right)$

　　　 $+ \boldsymbol{e}_\phi\left(\partial_r\tau_{\phi r} + \frac{1}{r}\partial_\theta\tau_{\theta\phi} + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi \sigma_\phi + \frac{3\tau_{\phi r} + 2\tau_{\theta\phi}\cot\theta}{r}\right)$

ただし， $\sigma_r=\tau_{rr}$ 等。これを用いれば，球座標による応力の平衡方程式

$\nabla\cdot\mathcal{T} + \boldsymbol{f} = 0$

を得る。

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最終更新：2012年02月17日 18:05

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