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【解答】定力で引かれる鎖の運動
問題はこちら　→　定力で引かれる鎖の運動


上昇中の運動方程式は，

\frac{d(\lambda xv)}{dt} = F - \lambda x g

xを変数として積分したいので，以下のように書き換える。

\frac{d(xv)}{dx}\;v = \frac{F}{\lambda} - gx

次のように変形すれば積分できて，

2xv \frac{d(xv)}{dx} = \frac{2F}{\lambda}\; x - 2gx^2

\frac{d(xv)^2}{dx} = \frac{2F}{\lambda}\; x - 2gx^2

(xv)^2 = \frac{F}{\lambda}\; x^2 - \frac{2g}{3}\; x^3 + C

となる。x(0)=0としてC=0。したがって，x>0において

v^2 = \frac{F}{\lambda} - \frac{2g}{3}\; x … (*)

\therefore v = \sqrt{\frac{F}{\lambda} - \frac{2g}{3}\; x}

を得る。

以上の結果には多少の解釈が必要である。

v(0) = \sqrt{\frac{F}{\lambda}} \neq 0

であることに注意されたい。もちろん現実的な初期条件はv(0)=0であるが，上の初速度に至る過渡現象が存在すると考えるべきであろう。いきなり定力Fを受けることで，微小時間のうちに速度は上記の値に達するのである。

さて，(*)を時間微分すると

2v\dot{v} = -\frac{2g}{3}\; v

\therefore \dot{v} = -\frac{g}{3}\quad,\quad v\ne 0

となり，定常上昇時には加速度は一定になることがわかる。また，最高点はv=0により

x_{\rm max.} = \frac{3F}{2\lambda g}

となる。

Algodooシミュレーション
POLYMATH数値シミュレーション


運動の全容を見てみよう。ひものついた風船の運動でも考察したように，鎖はつり合い中心まわりに減衰振動をする。運動方程式は，

\ddot{x} = \frac{F}{\lambda x} - g - (\dot{x}>0)\cdot\frac{{\dot{x}}^2}{x}

となる。(\dot{x}>0)は論理式で，真なら1，偽なら0をとるものとする。Algodooシミュレーションでは，鎖の運動はより現実に近く，エネルギー散逸が大きいため減衰がはやい。


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最終更新：2012年04月22日 18:58