合体におけるエネルギー損失

Yahoo!知恵袋の回答を考えて気づいた，直線衝突合体と同軸回転合体のアナロジー。

【問題】
慣性モーメント $i_1,i_2$ の二つの物体が共通の軸のまわりをそれぞれ勝手な角速度 $\omega_1,\omega_2$ で回転している。これらの２つの物体が突然つながって１つの物体になった。つながった後の角速度と回転運動のエネルギーの損失を求めよ。

系の角運動量は保存されるから，求める角速度を $\omega$ とすると

$(i_1 + i_2)\omega = i_1\omega_1 + i_2\omega_2$

$\therefore \omega = \frac{i_1\omega_1 + i_2\omega_2}{i_1 + i_2}$

合体前後のエネルギー変化は

${\it \Delta}E = \frac{1}{2}(i_1 + i_2)\omega^2 - \left(\frac{1}{2}i_1{\omega_1}^2 + \frac{1}{2}i_2{\omega_2}^2\right)$

　　 $= -\frac{i_1i_2(\omega_1 - \omega_2)^2}{2(i_1 + i_2)}$

求めるエネルギー損失は， $-{\it \Delta}E$ である。

直線上の衝突合体の場合とアナロジー，というか数学的に同じである。

質量 $m_1,m_2$ の質点がなめらかな直線上を $v_1,v_2$ の速度で運動して衝突合体するとき，合体後の速度を $v$ とすると，運動量保存により

$(m_1 + m_2)v = m_1v_1 + m_2v_2$

$\therefore v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 +m_2}$

エネルギー変化は

${\it \Delta}E = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 - \left(\frac{1}{2}m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2}^2\right)$

　　 $= -\frac{m_1m_2(v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

ここで，

${\it \Delta}E = -\frac{1}{2}\mu {v_r}^2$ 　，　 $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$ ， $v_r = v_1 - v_2$

であることに留意したい。運動量保存によって「重心運動のエネルギー」は保存され，合体によって「相対運動のエネルギー」が失われたのである。

最終更新：2012年12月07日 12:52

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