次元の階段を昇る

ソラール館長ブログを見て考えたこと。

円周上の微小線素 $dl$ を弧とする扇形の面積は

$dS = \frac{1}{2}r dl$

だから，これを円周にわたって加えると,円の面積

$S = \frac{1}{2} r \times 2\pi r = \pi r^2$

を得る。

同様に，球面上の微小面素 $dS$ を底面とする錐体の体積は

$dV = \frac{1}{3}r dS$

だから，これを球面にわたって加えると，球の体積

$V = \frac{1}{3} r \times 4\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3$

を得る。

さらに，4次元超球面の微小面素（体積素） $dV$ を底面とする超錐体の「超」体積 $dU$ と，これを超球面にわたって加えた超球の「超」体積 $U$ はどうなるだろうか？

$dU = \frac{1}{4}r dV$

$U = \frac{1}{4}r \times 2\pi^2r^3 = \frac{1}{2}\pi^2r^4$

となるらしいのだが…。

余談だが，上記ブログを見てこんなものを思い出した。

スナックパイン（ボゴールパイン）
http://www.tsujigaito.com/blog/2008/06/post-327.html

最終更新：2012年12月17日 23:14

添付ファイル

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