どっちがはやい？―棒振子と自由落下

棒振子の先端の落下と，自由落下の比較。
時間を座標の関数として求めるというのは，グラフ化するとき汎用性に欠けるものの，最も計算がラク。

長さ $l$ ，質量 $m$ の剛体棒が，その一端を軸とした振子になっているとき，初速ゼロで水平位置から角 $\theta$ まで振れる時間 $t(\theta)$ を求める。

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}m\left(\frac{l}{2}\dot{\theta}\right)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2-\frac{1}{2}mgl\sin\theta=0$

$\dot{\theta}$ について解けば，

$\frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{3g}{l}\sin\theta}$

すなわち，

$t(\theta)=\sqrt{\frac{l}{3g}}\int_0^\theta \frac{d\theta}{\sqrt{\sin\theta}}$

Mathcadによる計算結果を示す。

棒の長さの半分落下する時間は，0.38秒。自由落下の0.45秒に比べてかなり速い。

0.38秒ぴったり。中央におもりがついた棒振り子は，すでにはねかえっている。
先におもりをつけた方がより遅くなるというのがやや意外だが，回転の慣性の特徴を示している。

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最終更新：2009年04月04日 14:07

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