指数表記との比較

タワー表記を指数で表現してみる。
$a\uparrow b=a^b$
$a\uparrow\uparrow b=\underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}}_{b}$

$a\uparrow\uparrow\uparrow b= \left\begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ \underbrace{ \begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ \vdots \end{matrix} } \\ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ a \end{matrix}\right\}b$

$\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} \underbrace{ \begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ \vdots \end{matrix} } \\ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ a \end{matrix}\right\} } </p><p>a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= \left\begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} \underbrace{\katamari\left\katamari\dots\right\}\katamari a} \\ \vdots \end{matrix}} \\ \underbrace{\katamari\left\katamari\dots\right\}\katamari a} \\ a\end{matrix}\right\}b$

$\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} \underbrace{ \begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ \vdots \end{matrix} } \\ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} \\ a \end{matrix}\right\} } \newcommand{\kkatamari}{ \left\begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} \underbrace{\left\katamari\dots\right\}\katamari a} \\ \vdots \end{matrix}} \\ \underbrace{\left\katamari\dots\right\}\katamari a} \\ a\end{matrix}\right\} } </p><p>a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= \begin{matrix} \underbrace{\left\kkatamari\dots\right\}\kkatamari a} \\ b \end{matrix}$

これ以上は記述しようとしてもおそらく1数式あたりの容量が限度だろうと思うのでこの辺で。（´・ω・`）
このように、 $\uparrow$ が重なるにつれて、その記述は縦に横に縦に横にと拡大する。
また、表記スペースも指数関数的に増大するので、次第に書き下すのが難しくなってくる。そして括弧の階層が何重にもなるため、その意味するところを判読するのも難しくなってくる。

ちなみに $2\uparrow\dots\uparrow2$ を上のような表記で表現するとこうなる。

$\begin{matrix} & \begin{matrix} \underbrace{ \left \begin{matrix} \underbrace{ \left \begin{matrix} \underbrace{ \left \begin{matrix} \underbrace{ \left \begin{matrix} \underbrace{2^2} \\2 \end{matrix} \right\}2 } \\ 2 \end{matrix} \right\}2 } \\ 2 \end{matrix} \right\}2 } \\ 2 \end{matrix} \right\}2 } \\ 2 \end{matrix} & \\ & &\ddots \end{matrix}$