グラハム数

　関数G(x)を次のように定義する。記号についてはタワー表記を参照のこと。

$G(x)=3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{x}3$

　この時のG⁶⁴(4)をグラハム数Gとする。
　G⁶⁴(4)の「⁶⁴」とは、関数の中に関数が入るという入れ子構造の数を示しており、

$G^{64}(x)=\underbrace{G(G(\dots(G}_{64}(4))\dots))$ 　となる。

　具体的に関数G(x)を計算してみる。

$G(1)=3\uparrow3=3^{3}=27$
$G(2)=3\uparrow\uparrow3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987$

$G(3)=3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3 =3\uparrow\uparrow7625597484987 =\underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{7625597484987}$

$G(4)=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 =3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 =3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{7625597484987}$
$=\begin{matrix} \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3} \\ \underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{7625597484987} \end{matrix} </p><p>=\left.\begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}} \\ \vdots \end{matrix}} \\ \underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}} \\ \underbrace{3^{3^{3}}} \\ 3 \end{matrix}\right\} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{7625597484987}$

　・・・次第に書き表すのは困難になるが、ここまではまだ指数で表記が可能である。しかしここまではまだ基礎の段階に過ぎない。ここから先は関数の入れ子操作により、 $\uparrow$ の本数そのものが爆発的に増大するため、指数のみの表記は括弧を駆使しても事実上不可能となる。つまり、
$G^{2}(4)=G(G(4))= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ G(4) \end{matrix}= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 \end{matrix}$

$G^{3}(4)=G(G^{2}(4))= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ G^{2}(4) \end{matrix}= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 \end{matrix}$

$G^{4}(4)=G(G^{3}(4))= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ G^{3}(4) \end{matrix}= \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 \end{matrix}$

　・・・という具合である。さらに、Gⁿ(4)のnが、これらの段重ねの数と一致する事が解るので、グラハム数、すなわちG⁶⁴(4)の大きさは、

$G=G^{64}(4)=\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}64$

　となる。

　また、タワー表記の拡張表記
$a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{n}b=a\uparrow^{n}b$
　を用いてこの数を表記すると、
$G=G^{64}(4)= \underbrace{ 3\uparrow^{3\uparrow^{.^{.^{.^{3\uparrow^{3\uparrow}}}}}} \!}_{64}\! ^{^{^{^{^{^{^{4}3}3}.}.}.}3}3$ 　となる。

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最終更新：2013年01月25日 22:29

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