チェーン表記

定義・規則

　最も基本的な定義は、タワー表記を元にした3つ組チェーンである。
$a\rightarrow b\rightarrow c=a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{c}b$

　しかし、チェーンの世界は3つ組チェーンだけではない。
　例えばグラハム数などのオーダーでは、4つ組チェーンが使われている。
$3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2<G<3\rightarrow3\rightarrow65\rightarrow2$

　4つ組やそれ以上のチェーンについては、その実体を詳述する解説は与えられていない。
　しかし代わりに、その実体を知るヒントとして、以下の規則が与えられている。

（1）チェーンの最後が1であるとき、これを落とせる。
$\dots\rightarrow x\rightarrow y\rightarrow1 \quad=\quad \dots\rightarrow x\rightarrow y$
（2）チェーンの最後から2番目の数が1であるとき、これと最後の数をまとめて落とせる。
$\dots\rightarrow x\rightarrow1\rightarrow z \quad=\quad \dots\rightarrow x$

（3）末尾の2つを以下の様に変形できる。
$a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow y\rightarrow z$
$=a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow(a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow(y-1)\rightarrow z)\rightarrow(z-1)$

基本的にこの変形を繰り返していくのが、計算の基本手筋となる。
でも、同様に変形していけばわかると思うけど、

= a→b→…→x→(a→b→…→x→(a→b→…→x→(y-2)→z)→(z-1))→(z-1)
= a→b→…→x→(a→b→…→x→(a→b→…→x→(a→b→…→x→(y-3)→z)→(z-1))→(z-1))→(z-1)
=…

こんな感じでどんどん括弧の階層が重なって、すこぶる見辛い。だから下記のような記法を採用してみたい。
こうすると、構造が整理されてわかりやすい。

$a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow y\rightarrow z$

$\begin{matrix} =&a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow(z-1) \\ &\overline{a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow(z-1)} \\ &\overline{a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow(y-2)\rightarrow z} \end{matrix}$

$=\dots=$

$\left\begin{matrix} =&a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow(z-1) \\ &\overline{a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow(z-1)} \\ &\vdots \\ &\overline{a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow(z-1)} \\ &\overline{a\rightarrow b\rightarrow\dots\rightarrow x \underbrace{\rightarrow1\rightarrow z}_{\text{omit}}} \end{matrix}\right\}y$

　ここまで変形したところで、最下段の→1→zは、規則(1b)により省略される。すると、式から「z」が消え、(z-1)だけになったことがわかる。このような変形を延々繰り返していけば、zに相当する部分の値をさらに減らすことができ、やがて→1となって消えるので、チェーンは一つ縮まる。
　チェーンが一つ縮まれば、また同じようにしてチェーンを一つ縮めて行く、という事を繰り返せば、やがては3つ組みチェーンとなるので、タワー表記と一致し、一つの自然数値に定まる。

付随する性質

2つ組みのチェーンは累乗となる

　規則(1)を逆に辿れば、 $a\rightarrow b=a\rightarrow b\rightarrow 1$ と見なせるので、 $=a\uparrow b$ 、つまり $=a^b$ となる。

チェーンの途中に1があれば、それ以降を全て落とせる

　上記変形を見てもらえば分かる通り、チェーンが縮まない限り、変形によって影響を受けるのは末尾の2つの数字のみである。
　さらにチェーンは、延々と縮めていくことが可能であるので、このプロセスを追っていくと、

a→b→・・・→m→1→n→・・・→x→y→z
=a→b→・・・→m→1→n→・・・→x→Y
=a→b→・・・→m→1→n→・・・→X
=・・・=
=a→b→・・・→m→1→N　となる。つまり、規則(2)が適応できるので、
=a→b→・・・→m　と省略できてしまう。

　逆に辿れば、あるチェーンは、その後ろに→1→・・・が省略されたものと見なす事もできる。これは頭に入れておいても良いかも知れない。

a→b→・・・→m
=a→b→・・・→m→1→n→o→p→・・・

上記の変形規則は3つ組みチェーンでも成立する

　計算してみればわかります。興味がある人は是非やってみてタワー表記と照合してみましょう。
　つまり、チェーンの変形規則は、タワー表記の計算における性質を言い換えたものとも言える。ただし、2つ組みチェーンでは成り立たないことに注意。
　この性質はチェーン表記を理解する上で、一種のヒントとなる。つまり、タワー表記と同じような数の拡大法が、4つ組み以上のチェーンにおいても行われているのではないか、ということである。

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最終更新：2013年09月28日 20:44

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