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4つ組チェーンの実体、5つ組～

ここまでの話を整理しましょう。

a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow2 =\left\begin{matrix}{ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}b \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}b \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}b \\ a^b}\end{matrix}\right\}c

\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a^b\end{matrix}\right\} } </p><p>a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow3 =\begin{matrix}{ \underbrace{\left\katamari\katamari\dots\right\}\katamari a^b} \\ c}

\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a^b\end{matrix}\right\} } \newcommand{\kkatamari}{ \underbrace{\left\katamari\dots\right\}\katamari a^b} } </p><p>a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow4 =\left\begin{matrix}{ \underbrace{\begin{matrix}{\kkatamari \\ \vdots}\end{matrix}} \\ \kkatamari \\ a^b }\end{matrix}\right\}c

そして前回結論しなかったa→b→c→5の答えはこうなります。

\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a^b\end{matrix}\right\} } \newcommand{\kkatamari}{ \underbrace{\left\katamari\dots\right\}\katamari a^b} } \newcommand{\kkkatamari}{ \left\begin{matrix}{ \underbrace{\begin{matrix}{\kkatamari \\ \vdots}\end{matrix}} \\ \kkatamari \\ a^b }\end{matrix}\right\}} </p><p>a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow5 =\begin{matrix} \underbrace{\left\kkkatamari\dots\right\}\kkkatamari a^b} \\ c \end{matrix}

　同じような図をどっかで見たことはありませんでしたか？そう、タワー表記を指数表記で表現してみたページと同じような現象が、ここで起こっていることです。
　4つ目の数をどんどん大きくしていくと、記述は縦に横にと拡大し、ブレース括弧を駆使しても、表記量は指数関数的に増大。最終的にはタワー表記で書き切ることは不可能になります。
　ここで、筆者が制作した10→10→10→10の画像を以下にリンクしておきます。一応表記はできていますが、一体何が起こっているのか、この図からはもはや視認不可能と言って良いでしょう。4つ組みでこれだけ巨大化する表記法を、コンウェイ氏は開発してしまったわけです。

・http://cdn51.atwikiimg.com/largenumbers/pub/10chain10chain10chain10.png（※巨大画像注意：5149×7489ピクセル）

∴a→b→c→dとは

　その実体はタワー表記をさらにタワー的に拡大する、とでもいえるもので、
　a,bはこれらの図を構成する最小単位・・・という風にしか表現できない。正直上記の図を見てもらったほうが早い。とりあえず拡大された演算の末端にはabが来る。
　dは演算拡大のレベルそのもの。大きくなればなるほどタワー表記は困難で、チェーン表記か同等のレベルの表記でしか表せなくなる。
　cはこのdの値で定められた最大レベルの計算操作の回数。

　・・・というものが4つ組チェーンです。

5つ組チェーン

では、さらにチェーンを伸ばすとどうでしょうか。試しに5つ組みチェーンでは比較的単純な3→3→3→2→2を計算してみましょう。

3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow2 =\begin{matrix}{ 3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow1 \\ \overline{3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow1\rightarrow2} }\end{matrix}= 3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow(3\uparrow\uparrow\uparrow3)

　4つ組チェーンには出来ましたが、4つ目の数が爆発してしまいました。これが5つ組みチェーンの入り口です。

　a→b→c→d→2は、a→b→c = a↑cbが4つ目の数に代入された4つ組チェーンの数が4つ目の数に代入された4つ組チェーンの数が4つ目の数に代入された4つ組チェーンの数が…という操作をd回繰り返した数になります。

a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow2 =\left\begin{matrix}{ a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)} \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}} \\ \vdots\ \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}} \\ \quad\qquad\qquad\overline{a\uparrow^cb} }\end{matrix}\right\}d

もう解りますよね。a→b→c→d→3は、先ほどの拡大をさらに繰り返します。

a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow3 =\left\begin{matrix}{ a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow2 \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow2} \\ \vdots\ \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}\rightarrow2} \\ \qquad\qquad\overline{a\uparrow^cb} }\end{matrix}\right\}d

\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix}{ a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)} \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}} \\ \vdots\ \\ \overline{a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow\underset{\Uparrow}{(\dots)}} \\ \quad\qquad\qquad\overline{a\uparrow^cb} }\end{matrix}\right\} } </p><p>=\begin{matrix}{ \underbrace{\left\katamari\katamari\dots\right\}\katamari a\uparrow^cb} \\ d }\end{matrix}

これをa→b→c→d→4、a→b→c→d→5、としていくことで、更に延々と拡大していきます。

6つ組以上

そしてa→b→c→d→2→2とすれば、5番目の数は爆発します。

こうした拡大に次ぐ拡大を延々と繰り返していくことが、チェーン表記のチェーンを伸ばす操作に繋がっていくということです。

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最終更新：2013年09月29日 00:53