Array Notationとチェーン表記の比較

{a,b,c}

$\{a,b,c\}=a\rightarrow b\rightarrow c =a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{c}b$

3者は完全に一致します。

{a,b,1,2}

$a\rightarrow a\rightarrow(b-1)\rightarrow2 <\{a,b,1,2\}< a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow2$

両者は似ていますが、イコールではなりません。次のような違いがあります。段重ねの末端に注目。

$a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow 2 =\left\begin{matrix}{ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ a^a}\end{matrix}\right\}b$ 　　　　 $\{a,b,1,2\}=\left\begin{matrix}{ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}a \\ a}\end{matrix}\right\}b$

このため、例えばグラハム数との関係は、

$\{3,65,1,2\}<G<\{3,66,1,2\}$

となります。

さて、実はarray表記には一つ便利な性質があり、これよりもさらに挟み撃ち近似の幅を狭めることができます。

$\{3,65,1,2\}<G<\{4,65,1,2\}$

なぜこうなるかというと、{4,65,1,2}をタワー表記に変換してみると解ります。

$\{4,65,1,2\}=\left\begin{matrix}{ 4\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}4 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 4\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}4 \\ 4\underbrace{\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow}4 \\ 4}\end{matrix}\right\}65$

ここでグラハム数は要するに、

$G=\left\begin{matrix}{ 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow}3 \\ 4}\end{matrix}\right\}65$

ですから、明らかに{4,65,1,2}より小さいというわけです。
このように、array表記は、段重ね表記の末端の数を、ある程度考慮に入れることができるということです。

{a,b,2,2}

$a\rightarrow a\rightarrow(b-1)\rightarrow3 <\{a,b,2,2\}< a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow3$

array側は最後の2が3になるのではなく、3番目の1が2になることによってチェーンの・・・→3相当となることに注意。
これも{a,b,1,2\}の時と同じく、

$\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}b \\ a\end{matrix}\right\} } </p><p>\{a,b,2,2\} =\begin{matrix}{ \underbrace{\left\katamari\katamari\dots\right\}\katamari a} \\ b}\end{matrix}$ 　　　　 $\newcommand{\katamari}{ \left\begin{matrix} a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}a \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}a \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}a \\ a^a\end{matrix}\right\} } </p><p>a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow3 =\begin{matrix}{ \underbrace{\left\katamari\katamari\dots\right\}\katamari a^a} \\ b}\end{matrix}$

という違いがあります。
一応チェーン表記の3→3→3→3とは、グラハム数の場合と同様に考えると、
{3,3,2,2} < 3→3→3→3 < {3,4,2,2}、という関係が成り立ち、
より厳密には{26,3,2,2} < 3→3→3→3 < {27,3,2,2}、となります。

{a,b,c,2}

{a,b,c,2}のcを増やすことは、a→a→b→cのcを増やすことに相当します。
さらに、両者のcの増え方の対応関係に着目すると、
{a,b,c,2}に対応するチェーン表記はa→a→b→(c+1)ということになります。

{a,b,1,2}とa→a→b→2の違い、{a,b,2,2}とa→a→b→3の違いは、
{a,b,c,2}とa→a→b→(c+1)においても基本的には変わりません。つまり、

$a\rightarrow a\rightarrow(b-1)\rightarrow(c+1) <\{a,b,c,2\}< a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow(c+1)$

となります。

以下、実体が解っているところまで書きます（計算過程は省略します、ゴメンネ）。
（ $N\lesssim M$ は、NはMに近似し、なおかつMの方が厳密には大きい、の意味です。）

$\{a,b,1,3\}\lesssim a\rightarrow a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow2$

$\{a,b,c,3\}\lesssim a\rightarrow a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow(c+1)$

$\{a,b,c,d\}\lesssim \begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow a\rightarrow\dots a\rightarrow b\rightarrow(c+1)} \\ d+1\text{ copies of }\rightarrow \end{matrix} \approx a \rightarrow_2 (d+1)$ 　※Hurfordの拡張チェーン表記

$\{a,b,1,1,2\}\lesssim \left.\begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow a\rightarrow\cdots\rightarrow a\rightarrow (a+1)} \\ \underbrace{a\rightarrow a\rightarrow\cdots\rightarrow a\rightarrow (a+1)} \\ \underbrace{\;\;\;\quad\qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\quad\;\;\;} \\ \underbrace{a\rightarrow a\rightarrow\cdots\rightarrow a\rightarrow (a+1)} \\ a+1\text{ copies of }\rightarrow \end{matrix}\right\}b \lesssim a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 2$

$\{a,b,2,1,2\}\lesssim a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 3$

$\{a,b,c,1,2\}\lesssim a\rightarrow_2 b\rightarrow_2(c+1)$

$\{a,b,1,2,2\}\lesssim a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 2$

$\{a,b,2,2,2\}\lesssim a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 3$

$\{a,b,c,2,2\}\lesssim a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 (c+1)$

$\{a,b,1,3,2\}\lesssim a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 2$

$\{a,b,c,3,2\}\lesssim a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 b\rightarrow_2 (c+1)$

$\{a,b,c,d,2\}\lesssim \begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 \dots a\rightarrow_2 b\rightarrow_2(c+1)} \\ d+1\text{ copies of }\rightarrow_2 \end{matrix} \approx a \rightarrow_3 (d+1)$

$\{a,b,1,1,3\}\lesssim \left.\begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 \cdots \rightarrow_2 a\rightarrow_2 (a+1)} \\ \underbrace{a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 \cdots\rightarrow_2 a\rightarrow_2 (a+1)} \\ \underbrace{\;\;\;\qquad\qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\qquad\;\;\;} \\ \underbrace{a\rightarrow_2 a\rightarrow_2 \cdots \rightarrow_2 a\rightarrow_2 (a+1)} \\ a+1\text{ copies of }\rightarrow_2 \end{matrix}\right\}b \lesssim a\rightarrow_3 b\rightarrow_3 2$

$\{a,b,c,d,e\}\lesssim \begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow_e a\rightarrow_e \dots a\rightarrow_e b\rightarrow_e(c+1)} \\ d+1\text{ copies of }\rightarrow_e \end{matrix} \approx a \rightarrow_{e+1} (d+1)$

　↑array表記の有用性を示す一例。チェーン表記の場合、最初の数と最後の2つ以外の数はおまけみたいなものであるが、array表記の場合、a,b,c,d,e全ての数字が、数の大きさを評価する上での何らかの重要な役割を与えられている事がわかる。逆に言うと、それだけ考える事の多い表記でもあるのだが・・・

$\{a,3,1,1,1,2\}\lesssim a \rightarrow_{ a \rightarrow_{a+1}(a+1) }(a+1)$

$\{a,b,1,1,1,2\}\lesssim a \rightarrow_{ a \rightarrow_{ ._{._{._{ a \rightarrow_{a+1}(a+1) }.}.}. }(a+1) }(a+1)$ 　（下のa+1から数えてb段重ね）

$\{a,b,c,1,1,2\}\approx$ 　拡張チェーンの表記限界（上記のような拡大を縦に横に繰り返す）

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最終更新：2013年12月14日 11:52

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