拡張チェーン表記

チェーン表記の拡張は2種類程あります。

こちらではHurford氏による方式について書きます。
もう一つはバード数でお馴染みBird氏による拡張（矢印回転表記）です。

定義的にはBirdによるものよりもにこちらの方がすっきりしており、
当wikiではこちらの拡張表記を採用しています。

まずは基本的な拡張から。

$\begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow a\rightarrow\dots\rightarrow a\rightarrow a} \\ b\text{ copies of }\rightarrow \end{matrix}=a\rightarrow_2 b$

同様に、

$\begin{matrix} \underbrace{a\rightarrow_n a\rightarrow_n\dots\rightarrow_n a\rightarrow_n a} \\ b\text{ copies of }\rightarrow_n \end{matrix}=a\rightarrow_{n+1} b$

と表記します。ここで注意すべきは、bが指し示しているのはaの数ではなく→の数ということです。
（なんでそんな定義をしたのだろう・・・とにかくそうなっているので仕方ない）
このため、後述に示す変形規則に、少し影響がありますので注意。

基本的には、拡張されたチェーンも、非拡張チェーンと同じ変形を適応できます。

$\dots\rightarrow_n x\rightarrow_n y\rightarrow_n 1 \quad=\quad \dots\rightarrow_n x\rightarrow_n y$

$\dots\rightarrow_n x\rightarrow_n 1\rightarrow_n z \quad=\quad \dots\rightarrow_n x$

$a\rightarrow_n b\rightarrow_n\dots\rightarrow_n x\rightarrow_n y\rightarrow_n z$
$=a\rightarrow_n b\rightarrow_n\dots\rightarrow_n x\rightarrow_n(a\rightarrow_n b\rightarrow_n\dots\rightarrow_n x\rightarrow_n(y-1)\rightarrow_n z)\rightarrow_n(z-1)$

ただし例外的に2つ組みで最後の数が1の場合に限り、1を省略せず次のように変形します。

$a\rightarrow_n 1=a\rightarrow_{n-1} a$

また、異なる拡張レベルのチェーンを混在させる事はできません。

×　 $10\rightarrow_2 10\rightarrow 10$

例

ふぃっしゅ数1は以下の拡張チェーンの間に収まります。

$3\rightarrow_2 63\rightarrow_2 2<F_1<3\rightarrow_2 64\rightarrow_2 2$

$3\rightarrow_2 63\rightarrow_2 2=\left.\begin{matrix} \underbrace{3\rightarrow3\rightarrow\cdots\rightarrow3\rightarrow3} \\ \underbrace{3\rightarrow3\rightarrow\cdots\rightarrow3\rightarrow3} \\ \underbrace{\;\;\qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\;\;} \\ \underbrace{3\rightarrow3\rightarrow\cdots\rightarrow3\rightarrow3} \\ 3^3\text{ copies of }\rightarrow\end{matrix}\right\}63$

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最終更新：2013年12月07日 22:10

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